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Dixon naquit à Coalisland, dans le comté de Tyrone en 1806 et entra au St Patrick's College de Maynooth à l'âge de seize ans. Il fut ordonné prêtre en 1829. Il fut initialement nommé comme doyen junior de l'université, puis doyen principal en 1833. En 1834 il fut nommé au siège de l'Écriture Sainte et Hébraïque, un poste qu'il occupa pendant les dix-huit prochaines années. Sa classe avait une moyenne de 200 élèves, parmi lesquels figuraient John MacEvilly, qui devint archevêque de Tuam.
Archevêque d'Armagh
En tant que Primat d'Armagh il tint un important synode en 1854, auquel tous les évêques de la province du nord assistèrent avec leurs théologiens. La même année il commença à achever la cathédrale inachevée d'Armagh et termina quasiment l'œuvre avant son décès. En 1856 il forma le chapitre diocésain constitué de treize membres.
Durant sa fonction, il apporta certaines congrégations religieuses dans le diocèse : les Filles de la charité de saint Vincent de Paul (1855), qui ouvrit un foyer à Drogheda ; la Société de Marie (1851) qui ouvrit une université et noviciat à Dundalk, et la Congrégation de la Mission qui était chargée du séminaire ecclésiastique la même année. Le primat était un défenseur du Saint-Siège et lors d'un rassemblement public à Drogheda il dénonça Napoléon III de complicité dans les actes des révolutionnaires italiens. Son discours et sa lettre ultérieure au Freeman's Journal créa la polémique et l'Empereur en a fait un sujet de plainte au pape Pie IX. Dixon était l'organisateur de la Brigade irlandaise au service papal.
Ouvrages
La chaire de Dixon était signalisée par son Introduction aux Écritures Saintes, un ouvrage loué par le cardinal Wiseman. La première édition parût en 1852 et une seconde en 1875.
