Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.

On travaille dans le plan complexe projectif (en) ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$. Soient quatre points distincts ${\displaystyle a,b,c,d}$, leur birapport est :

${\displaystyle (a,b,c,d)={\frac {a-c}{a-d}}\cdot {\frac {b-d}{b-c}}}$

Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.

Par exemple, le birapport de ${\displaystyle (m,1,0,\infty )}$ peut valoir, selon l'ordre considéré :

${\displaystyle m,1/m,1-m,1-1/m,1/(1-m),m/(m-1)}$

Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :

${\displaystyle j(m)={\frac {4}{27}}{\frac {(1-m+m^{2})^{3}}{m^{2}(1-m)^{2}}}}$

que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.

Soit X une courbe elliptique non singulière sur ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$, de forme de Weierstrass :

${\displaystyle X:y^{2}=x^{3}+q_{2}x+q_{3}}$

ayant pour discriminant ${\displaystyle \Delta =-4q_{2}^{3}-27q_{3}^{2}\neq 0}$.

Le j-invariant associé est

${\displaystyle j=1728{\frac {-4q_{2}^{3}}{\Delta }}}$

Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.

La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.

• (en) John Horton Conway et Simon Norton, « Monstrous moonshine », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 11, n^o 3,‎ 1979, p. 308–339 (DOI 10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399)
• (it) Felix Klein, « Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. », Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser, vol. 10, n^o 2,‎ 1877
• (de) Felix Klein, « Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades », Math. Ann., vol. 14,‎ 1878-1879, p. 111-172
• (en) Andrew Ogg, « Modular Functions », dans The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979, Amer. Math. Soc., 1980, p. 521-532
• (en) Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld

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