Né en Ontario après que ses parents eurent émigré de Pologne, il commença ses études à l'université de Toronto. Il fut l'un des cinq premiers Putnam fellows, en 1938 ce qui lui permit de continuer ses études à Harvard. Après un Ph.D. en 1941 comme premier doctorant de Saunders Mac Lane, Kaplansky fut professeur à l'université de Chicago de 1945 à 1984. Il dirigea le département de mathématiques de 1962 à 1967. En 1968, il reçut le prix Jeffery-Williams.
Kaplansky était aussi un pianiste accompli, connu pour sa participations aux représentations de Gilbert et Sullivan à Chicago. Sa musique était souvent basée sur des thèmes mathématiques. L'une de ses compositions, A Song About Pi, est une mélodie construite en assignant des notes aux quatorze premières décimales de pi. Sa fille, la chanteuse-compositriceLucy Kaplansky(en), reprend parfois ce morceau dans ses spectacles.
