Inégalité de Ptolémée

L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Énoncé

Théorème — Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

AC\cdot BD\leqslant AB\cdot CD+BC\cdot AD

avec égalité si et seulement si $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont cocycliques ou alignés avec $A$ , $C$ séparant $B$ , $D$ .

Le cas d'égalité étant connu comme le théorème de Ptolémée.

L'inégalité de Ptolémée est la manifestation de l'inégalité triangulaire après l'application d'une inversion de centre l'un des points^[1], ou, dans le cas plan, directement en utilisant les nombres complexes ^[2]^,^[1].

Démonstration utilisant les nombres complexes (cas plan)

Soient $a,b,c,d$ les affixes respectives de $A,B,C,D$ . En développant et refactorisant $(b-a)(d-c)+(d-a)(c-b)$ , on obtient $(c-a)(d-b)$ , donc d'après l'inégalité triangulaire, on a :

AB\cdot CD+AD\cdot BC=|b-a||d-c|+|d-a||c-b|\geqslant |c-a||d-b|=AC\cdot BD

, d'où l'inégalité voulue.

Si deux points sont confondus, les quatre points sont cocycliques ou alignés, sinon le cas d'égalité s'écrit :

$(b-a)(d-c)=\lambda (d-a)(c-b)$ avec $\lambda >0$ , ce qui s'écrit aussi ${\frac {b-a}{d-a}}=\lambda {\frac {c-b}{d-c}}$ , ou encore ${\widehat {({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})}}={\widehat {({\overrightarrow {BC}},{\overrightarrow {CD}})}}$ , d'où le résultat.

Démonstration utilisant une inversion

Soit $A'$ , $B'$ et $C'$ les images respectives de $A$ , $B$ et $C$ par l'inversion de centre $D$ et de rapport $1$ .

Nous avons les relations entre longueurs :

A'B'={\frac {AB}{DA\times DB}}

B'C'={\frac {BC}{DC\times DB}}

A'C'={\frac {AC}{DA\times DC}}

Ainsi l'inégalité triangulaire $A'C'\leqslant A'B'+B'C'$ nous donne

{\frac {AC}{DA\times DC}}\leqslant {\frac {AB}{DA\times DB}}+{\frac {BC}{DC\times DB}}

qui après multiplication par $DA\times DB\times DC$ devient

AC\times BD\leqslant AB\times CD+BC\times AD

Il y a égalité si et seulement si $A'$ , $B'$ et $C'$ sont alignés dans cet ordre, ce qui est équivalent à : $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont cocycliques ou alignés, avec $A,C$ séparant $B,D$ .

Références

↑ ^{a et b} Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 254-255, 322, 362, 473-474
↑ Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, p. 299

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