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En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.

Énoncé

Inégalité de Markov — Soit $Z$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a>0,\qquad \mathbb {P} (Z\geqslant a)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}.

Démonstration

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ . On note $\mathbf {1} _{\{Z\geqslant a\}}$ la fonction indicatrice de l'événement $\{Z\geqslant a\}$ .

On a l'inégalité :

\forall \omega \in \Omega ,\qquad a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )

car $Z$ est à valeurs positives ou nulles.

Par croissance de l'espérance, on a :

\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)\qquad (*)

Puis, par linéarité de l'espérance :

\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\left(1\times \mathbb {P} (Z\geqslant a)+0\times \mathbb {P} (Z<a)\right)=a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)

En réinjectant l'expression dans l'inégalité $(*)$ , on obtient :

a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)

c'est-à-dire

\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}

Généralisation

Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit $X$ une variable aléatoire de ${\textstyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ où $Ω$ est l'ensemble des réalisations, ${\textstyle {\mathcal {F}}}$ est la tribu des événements et ${\textstyle \mathbb {P} }$ la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :

Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif $\alpha$ ,

\mathbb {P} \left(|X|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)}{\alpha ^{p}}}

La démonstration tient entièrement au fait que pour tout $α$ strictement positif, ${\textstyle \alpha ^{p}\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\leq |X|^{p}}$ . Ici, $1 A$ désigne l'indicatrice de l'événement $A$ . Par croissance de l'espérance, on obtient : $\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)\geq \mathbb {E} \left(\alpha ^{p}\,\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {P} \left\{|X|\geq \alpha \right\}$ En divisant de part et d'autre de l'inégalité par $α p$ on trouve le résultat recherché.

On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.

De plus en prenant ${\textstyle X=Y-\mathbb {E} \left(Y\right)}$ et $p = 2$ on obtient exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé :

Corollaire — Soit $ϕ$ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle $I$ . Soit $Y$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ telle que $\mathbb {P} (Y\in I)=1$ . Alors :

\forall b\in I\;|\;\phi (b)>0,\qquad \mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}.

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à $Z=\phi (Y)\$ et à $a=\phi (b)$ pour obtenir :

\forall b>0,\qquad \mathbb {P} \left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}

.

La croissance de $\phi$ entraîne : $\{Y\geqslant b\}\subset \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$ .

Par conséquent : $\mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}$ .

Applications

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=|X-\mathbb {E} (X)|,~I=[0,+\infty [\$ et $ϕ(x) = x 2$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=X-\mathbb {E} (X)$ , ou bien $Y=\mathbb {E} (X)-X$ , de $I=\mathbb {R}$ , et de $ϕ(x) = e λ x$ , $λ > 0$ , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.