Inégalité de Jordan
2
π π -->
x
⩽ ⩽ -->
sin
-->
(
x
)
⩽ ⩽ -->
x
pour
x
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
2
]
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin(x)\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
En mathématiques , l'inégalité de Jordan , du nom du mathématicien Camille Jordan , énonce que [ 1]
2
π π -->
x
⩽ ⩽ -->
sin
-->
x
⩽ ⩽ -->
x
pour
x
∈ ∈ -->
[
0
,
π π -->
2
]
.
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin x\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].}
Cela peut être prouvé en utilisant la concavité de la fonction sinus dont la courbe est au-dessus de ses sécantes et en-dessous de ses tangentes[ 2] géométriquement comme ci-dessous[ 3]
Le cercle unité , et un cercle de rayon
E
G
=
sin
-->
x
{\displaystyle EG=\sin x}
D
E
⩽ ⩽ -->
D
C
⌢ ⌢ -->
⩽ ⩽ -->
D
G
⌢ ⌢ -->
⇔ ⇔ -->
sin
-->
x
⩽ ⩽ -->
x
⩽ ⩽ -->
π π -->
2
sin
-->
x
⇔ ⇔ -->
2
π π -->
x
⩽ ⩽ -->
sin
-->
x
⩽ ⩽ -->
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&DE\leqslant {\overset {\frown }{DC}}\leqslant {\overset {\frown }{DG}}\\\Leftrightarrow &\sin x\leqslant x\leqslant {\tfrac {\pi }{2}}\sin x\\\Leftrightarrow &{\tfrac {2}{\pi }}x\leqslant \sin x\leqslant x\end{aligned}}}
↑ (en) Eric W. Weisstein , « Jordan's Inequality MathWorld ↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse , Ellipses, 2016 , p. 308 ↑ Roger B. Nelsen, Preuves sans mots, L'inégalité de Jordan par Feng Yuefeng , Hermann, 2013 , p. 153
Bibliographie
Serge Colombo : Holomorphic Functions of One Variable . Taylor & Francis 1983, (ISBN 0677059507 , p. 167-168 ( copie en ligne )
Da-Wei Niu, Jian Cao, Feng Qi: Généralisations de l'inégalité de Jordan et relations concernées [1] UPB Sci. Bull., Série A, Volume 72, Numéro 3, 2010, (ISSN 1223-7027
Feng Qi: l'inégalité de Jordan: raffinements, généralisations, applications et problèmes connexes [2] RGMIA Res Rep Coll (2006), Volume 9, Numéro: 3, Pages: 243–259
Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality Journal of Inequalities and Applications , 2011: 130, doi: 10.1186 / 1029-242X-2011-130
Liens externes
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin(x)\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a0dadca52cb76a80c49c7fbb9f905e049e0908)
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}x\leqslant \sin x\leqslant x{\text{ pour }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc05e1d47ed431beb5fa4a68cb343359cb6f296)
