Inégalité de Carleman

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L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922^[1] et reliant la somme des moyennes géométriques des $n$ premiers termes d'une série à termes positifs et la somme de cette série :

\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leqslant {\rm {e}}\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}.

La constante $e$ est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité

Soit pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , $c_{n}={\frac {(n+1)^{n}}{n^{n-1}}}$ . Observons que $c_{1}c_{2}\cdots c_{n}=(n+1)^{n}$ , et que donc $(c_{1}c_{2}\cdots c_{n})^{1/n}=n+1$ . Soit $N\in \mathbb {N}$ . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n+1}}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}\right)^{1/n}\\&\leqslant \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{k}.\end{aligned}}

Une inversion de somme conduit alors à

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}&\leqslant \sum _{k=1}^{N}\left(\sum _{n=k}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}\right)a_{k}c_{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{N+1}}\right)a_{k}c_{k}\\&\leqslant \sum _{k=1}^{N}a_{k}{\frac {c_{k}}{k}}.\end{aligned}}

Or la suite de nombres rationnels $\textstyle {\frac {c_{k}}{k}}=(1+{\frac {1}{k}})^{k}$ croît vers le nombre irrationnel $e$ , donc ${\frac {c_{k}}{k}}<\mathrm {e}$ pour tout $k\geqslant 1$ . D'où

\sum _{n=1}^{N}\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{1/n}\leqslant \mathrm {e} \sum _{k=1}^{N}a_{k},

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite $(a_{k})_{k\geqslant 1}$ ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Si l'on considère

a_{n}:={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&{\text{si }}n\leqslant N,\\[.4em]0,&{\text{si }}n>N,\end{cases}}

alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à $\mathrm {e} H_{N}$ où $H N$ est le N-ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque ${(n!)}^{\frac {1}{n}}\sim {\frac {n}{e}}$ d'après la formule de Stirling, l'équivalent

\sum _{n=1}^{N}{(n!)}^{-{\frac {1}{n}}}\sim \mathrm {e} \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\mathrm {e} H_{N}

lorsque $N\to \infty$ . Ceci montre que la constante $\mathrm {e}$ est la meilleure possible.

Note et référence

↑ T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, p. 181-196.

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