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En analyse mathématique, l'inégalité 4/3 de Littlewood, portant le nom de John Edensor Littlewood^[1], est une inégalité valable pour toute forme bilinéaire à valeurs complexes définie sur ${\displaystyle c_{0}}$, l'espace de Banach des suites réelles ou complexes qui convergent vers zéro.

Plus précisément, soit ${\displaystyle B:c_{0}\times c_{0}\to \mathbb {C} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {R} }$ une forme bilinéaire. On a alors :

${\displaystyle \left(\sum _{i,j=1}^{\infty }|B(e_{i},e_{j})|^{4/3}\right)^{3/4}\leqslant {\sqrt {2}}\|B\|,}$

où

${\displaystyle \|B\|=\sup\{|B(x_{1},x_{2})|:\|x_{i}\|_{\infty }\leqslant 1\}.}$

L'exposant 4/3 est optimal, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être remplacé par un exposant plus petit^[1]. Il est également connu que pour des suites réelles, la constante ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est optimale aussi^[2].

L'inégalité de Bohnenblust-Hille^[3] est une généralisation multilinéaire de l'inégalité de Littlewood. Elle exprime que pour toute application ${\displaystyle m}$-linéaire ${\displaystyle M:c_{0}\times \cdots \times c_{0}\to \mathbb {C} }$, on a :

${\displaystyle \left(\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{\infty }|M(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{m}})|^{2m/(m+1)}\right)^{(m+1)/(2m)}\leq 2^{(m-1)/2}\|M\|,}$

• Inégalité de Grothendieck (en)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Littlewood's 4/3 inequality » (voir la liste des auteurs).

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