En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Les intégrales de Wallis ont été introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre π en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.

Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle ${\displaystyle (W_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ définie par :

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,\mathrm {d} x}$

ou de façon équivalente (par le changement de variable ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-t}$) :

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x}$.

Les premiers termes de cette suite sont :

${\displaystyle W_{0}}$	${\displaystyle W_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	${\displaystyle W_{3}}$	${\displaystyle W_{4}}$	${\displaystyle W_{5}}$	${\displaystyle W_{6}}$	${\displaystyle W_{7}}$	${\displaystyle W_{8}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{32}}}$	${\displaystyle {\frac {16}{35}}}$	${\displaystyle {\frac {35\pi }{256}}}$

Puisque pour ${\displaystyle x\in {\Big [}0;{\dfrac {\pi }{2}}{\Big ]}}$, on a ${\displaystyle 0\leqslant \sin(x)\leqslant 1}$, la suite ${\displaystyle (W_{n})}$ est (strictement) positive et décroissante^[1] ; on en déduit, d’après le théorème de convergence dominée, que sa limite est nulle ; ce résultat est également conséquence de l'équivalent qui sera obtenu plus loin.

Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence^[1] :

${\displaystyle W_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}\,W_{n}}$.

De cette relation et des valeurs de ${\displaystyle W_{0}}$ et ${\displaystyle W_{1}}$, on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\pi }{2}}\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {\binom {2p}{p}}{4^{p}}}\quad {\text{et}}\quad W_{2p+1}=\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}={\frac {\left(2^{p}p!\right)^{2}}{(2p+1)!}}={\frac {1}{2p+1}}{\frac {4^{p}}{\binom {2p}{p}}}}$

Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes :

1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(u)^{2x-1}\cos(u)^{2y-1}\,\mathrm {d} u}$

2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :

   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

Sachant que ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ et ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$, on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}}$.

De la formule de récurrence précédente, on déduit l'encadrement : ${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}={\frac {W_{n+2}}{W_{n}}}<{\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}<1}$ , d'où l'équivalence^[1] :

${\displaystyle W_{n+1}\sim W_{n}}$.

Puis, en étudiant ${\displaystyle W_{n}W_{n+1}}$, on établit l'équivalent suivant^[1] :

${\displaystyle W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}}$.

La série génératrice des termes pairs est ${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }W_{2p}x^{2p}={\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

La série génératrice des termes impairs est^[2] ${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }W_{2p+1}x^{2p+1}={\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.

On suppose connue l'existence d'une constante ${\displaystyle C}$ telle que^[3] :

${\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$.

En remplaçant les factorielles dans l'expression ci-dessus des intégrales de Wallis, on en déduit un nouvel équivalent :

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\pi }{2}}{\frac {(2p)!}{\left(2^{p}p!\right)^{2}}}\sim {\frac {\pi }{2}}{\frac {C{\sqrt {2p}}\,\left({\frac {2p}{\mathrm {e} }}\right)^{2p}}{\left(2^{p}C{\sqrt {p}}\,\left({\frac {p}{\mathrm {e} }}\right)^{p}\right)^{2}}}={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}}$.

En le confrontant à l'équivalent de ${\displaystyle W_{n}}$ obtenu précédemment, on en déduit que

${\displaystyle C=\lim _{p\to \infty }{\frac {\pi }{W_{2p}{\sqrt {2p}}}}={\sqrt {2\pi }}}$.

On a ainsi établi la formule de Stirling :

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$.

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

On utilise pour cela l'encadrement suivant^[4], issu de la construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler : pour tout entier ${\displaystyle n>0}$ et tout réel ${\displaystyle u\in \left]-n,n\right[}$,

${\displaystyle (1+u/n)^{n}\leq \mathrm {e} ^{u}\leq (1-u/n)^{-n}}$.

Posant alors ${\displaystyle u=-x^{2}}$, on obtient :

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\sqrt {n}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\sqrt {n}}(1+x^{2}/n)^{-n}\,\mathrm {d} x}$.

Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\sin t}$ (t variant de 0 à π/2). Quant à celle de droite, on peut poser ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\tan t}$ (t variant de 0 à π/4) puis majorer par l'intégrale de 0 à π/2. On obtient ainsi :

${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n+1}\leq \int _{0}^{\sqrt {n}}\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\leq {\sqrt {n}}\,W_{2n-2}}$.

Par le théorème des gendarmes, on déduit alors de l'équivalent de ${\displaystyle W_{n}}$ ci-dessus que

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}/2}$.

Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.

Puisque ${\displaystyle W_{2p}\sim W_{2p+1}}$ (voir supra),

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\pi }{2}}}$.

Or d'après le calcul ci-dessus des intégrales de Wallis :

${\displaystyle {\frac {W_{2p+1}}{W_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}={\frac {\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k}{2k+1}}}{\prod _{k=1}^{p}{\frac {2k-1}{2k}}}}=\prod _{k=1}^{p}{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}}$.

On en déduit pour la constante π/2 l'expression (appelée produit de Wallis) :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }{\frac {4k^{2}}{4k^{2}-1}}={\frac {\pi }{2}}}$.

Calcul du volume de l'hypersphère

John Wallis, sur le site L'univers de π.

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