Soit X un espace topologique et x et y des éléments de X.
On dit que x et y sont (topologiquement) indiscernables si tout voisinage de x contient y et si tout voisinage de y contient x.
À l'inverse, on dit que x et y sont (topologiquement) discernables s'ils ne sont pas indiscernables. Plus précisément, s'il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou s'il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.
Il est évident que deux éléments discernables doivent être distincts (car x appartient à tout voisinage de x). Réciproquement, si tous x et y distincts sont discernables, X est dit T0.
La relation « sont indiscernables » est une relation d'équivalence.
Propriétés
Relation d'équivalence
Notons la relation binaire « sont indiscernables ».
En notant le préordre de spécialisation, on voit alors facilement que l'on a :
Ainsi nous rendons-nous compte que est une relation d'équivalence : celle naturellement associée au préordre.
Caractérisations
Soit .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- et sont indiscernables ;
- ;
- ;
- .
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes