En mathématiques , l'immanant d'une matrice est une généralisation des notions de déterminant et de permanent définie par Dudley E. Littlewood et Archibald Read Richardson . Ce concept est utilisé notamment en théorie des représentations du groupe symétrique .
Soit
λ λ -->
=
(
λ λ -->
1
,
λ λ -->
2
,
… … -->
)
{\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}
partition d'un entier
n
{\displaystyle n}
χ χ -->
λ λ -->
{\displaystyle \chi _{\lambda }}
caractère de la représentation irréductible correspondante du groupe symétrique
S
n
{\displaystyle S_{n}}
immanant d'une matrice
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
n
{\displaystyle n}
χ χ -->
λ λ -->
{\displaystyle \chi _{\lambda }}
I
m
m
λ λ -->
(
A
)
=
∑ ∑ -->
σ σ -->
∈ ∈ -->
S
n
χ χ -->
λ λ -->
(
σ σ -->
)
a
1
σ σ -->
(
1
)
a
2
σ σ -->
(
2
)
⋯ ⋯ -->
a
n
σ σ -->
(
n
)
.
{\displaystyle {\rm {Imm}}_{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.}
Le déterminant est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque
χ χ -->
λ λ -->
{\displaystyle \chi _{\lambda }}
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
S n parité d'une permutation .
Le permanent est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque
χ χ -->
λ λ -->
{\displaystyle \chi _{\lambda }}
Utilisation
Dans leurs travaux, Littlewood et Richardson ont aussi étudié les relations de l’immanant avec les fonctions de Schur dans la théorie des représentations du groupe symétrique .
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Immanant of a matrix » (voir la liste des auteurs ) .Dudley E. Littlewood et Archibald R. Richardson , « Group Characters and Algebra », Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A , The Royal Society, vol. 233, nos 721–730, 1934 , p. 99–141 (ISSN 0264-3952 DOI 10.1098/rsta.1934.0015 JSTOR 91293 lire en ligne ) Dudley E. Littlewood , The theory of group characters and matrix representations of groups. , AMS Chelsea Publishing, 1950 (réimpr. 2006), 2e éd. (1re éd. 1940), viii+314 (ISBN 0-8218-4067-3 , p. 81
Lien externe
