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En géométrie symplectique, l’homomorphisme du flux est un homomorphisme du revêtement universel de la composante neutre du groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique compacte ${\displaystyle (M,\omega )}$ dans le premier groupe de cohomologie de M à coefficients réels :

${\displaystyle Flux:{\widehat {Symp_{0}}}(M,\omega )\rightarrow H^{1}(M,\mathbf {R} )}$.

Si ${\displaystyle \Psi }$ est un arc différentiable de symplectomorphismes, on définit :

${\displaystyle X_{t}\circ \Psi _{t}={\frac {d}{dt}}\Psi _{t}}$.

${\displaystyle X_{t}}$ est un champ localement hamiltonien, ie ${\displaystyle \iota (X_{t})\omega }$ est une 1-forme différentielle fermée sur M. En définissant ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {R} )}$ comme le premier groupe de cohomologie du complexe de Rham, on pose :

${\displaystyle Flux(\Psi )=\int \left[\iota (X_{t})\omega \right]dt}$.

En tant que groupe commutatif, ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {R} )}$ est isomorphe au groupe des homomorphismes ${\displaystyle \pi _{1}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$. L'élément ${\displaystyle Flux(\Psi )}$ peut se redéfinir comme suit :

${\displaystyle Flux(\Psi )(\alpha )=\int _{\Psi \alpha }\omega }$.

où ${\displaystyle \Psi \alpha }$ désigne l'application ${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}\rightarrow M}$ définie par :

${\displaystyle \Psi \alpha (t,s)=\Psi _{t}\left[\alpha (t)\right]}$.

Il a été démontré que ${\displaystyle Flux(\Psi )}$ est nul ssi ${\displaystyle \Psi }$ est isotope à extrémité fixé à un flot hamiltonien. En particulier, dans ce cas, ${\displaystyle \Psi _{1}}$ est un difféomorphisme hamiltonien.

L'image du groupe fondamental de ${\displaystyle Symp_{0}(M,\omega )}$ sous l'homomorphisme du Flux est un sous-groupe de ${\displaystyle H^{1}(M,\omega )}$ appelé le groupe de Calabi ${\displaystyle \Gamma }$.

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