On considère un ensemble ${\displaystyle \Omega =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ d'individus et un ensemble ${\displaystyle H=\{H_{1},\dots ,H_{g}\}}$ de parties de ${\displaystyle \Omega }$. H est une hiérarchie sur ${\displaystyle \Omega }$ si et seulement si :

• ${\displaystyle \emptyset \in H}$.
• quel que soit i, ${\displaystyle \{x_{i}\}\in H}$.
• ${\displaystyle \Omega \in H}$.
• quels que soient k et ${\displaystyle \ell }$, ${\displaystyle H_{k}\cap H_{\ell }=\emptyset }$ ou ${\displaystyle H_{k}\subset H_{\ell }}$ ou ${\displaystyle H_{\ell }\subset H_{k}}$.

Par exemple, pour un ensemble ${\displaystyle \Omega =(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ l'ensemble

${\displaystyle H=\left\{\ \emptyset \ ,\{x_{1}\},\{x_{2}\},\{x_{3}\},\{x_{4}\},\{x_{1},x_{2}\},\{x_{3},x_{4}\},\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right\}}$

est une hiérarchie.

On appelle indice sur un hiérarchie H de ${\displaystyle \Omega }$ une fonction i de ${\displaystyle H\backslash \left\{\ \emptyset \ \right\}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés :

• si ${\displaystyle H_{k}\subset H_{\ell }}$ et ${\displaystyle k\neq \ell }$, alors, ${\displaystyle i(H_{k})<i(H_{\ell })}$.
• quel que soit ${\displaystyle x_{i}}$ de ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle i(\{x_{i}\})=0}$.

Le couple ${\displaystyle (H,i)}$ est alors appelé hiérarchie indexée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points ${\displaystyle x_{i}}$ sont des points de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ de coordonnées

• ${\displaystyle x_{1}=(1,0)\,}$
• ${\displaystyle x_{2}=(1,0.5)\,}$
• ${\displaystyle x_{3}=(2,2)\,}$
• ${\displaystyle x_{4}=(2,2.2)\,}$

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :

• ${\displaystyle i\left(\{x_{1}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{2}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{3}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{4}\}\right)=0\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2}\}\right)=1.125\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{3},x_{4}\}\right)=0.2\,}$
• ${\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right)=4.5674\,}$

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :

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