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L'échelle diatonique de Ptolémée, également connue sous le nom de séquence ptolémaïque^[1], échelle majeure à intonation juste^[2]^,^[3]^,^[4], ou échelle diatonique syntonique, est un système d'accord de l'échelle diatonique proposé par Claude Ptolémée^[5], cité par Zarlino comme étant la seule échelle pouvant être naturellement chantée, et correspondant à l'intonation juste moderne^[6]. Cette échelle est également reprise par Giuseppe Tartini^[7].

C'est l'équivalent occidental de la gamme indienne svara gandharam, qui comporte exactement les mêmes intervalles.

Il est produit par un tétracorde composé d'un ton supérieur (9:8), d'un ton inférieur (10:9) et d'un demi-ton diatonique (16:15)^[6].

C'est ce qu'on appelle le tétracorde diatonique « intense » de Ptolémée, par opposition au tétracorde diatonique « doux » de Ptolémée, formé par des intervalles de 21:20, 10:9 et 8:7^[8]. La structure de l'échelle diatonique « intense » est illustrée dans les tableaux ci-dessous, où J signifie un ton plus grand, t est pour un ton réduit et s, pour un demi-ton :

Note	Nom	Do		Ré		Mi		Fa		Sol		La		Si		Do
	Appellation anglo-saxonne	C		D		E		F		G		A		B		C
	Rapport à Do	1:1		9:8		5:4		4:3		3:2		5:3		15:8		2:1
	Harmonique	²⁴ ²⁴		²⁷ ²⁷		³⁰ ³⁰		³² ³²		³⁶ ³⁶		⁴⁰ ⁴⁰		⁴⁵ ⁴⁵		⁴⁸ ⁴⁸
	millièmes	0		204		386		498		702		884		1088		1200
écarts	Nom		J		t		s		J		t		J		s
	Rapport		9:8		10:9		16:15		9:8		10:9		9:8		16:15
	millièmes		204		182		112		204		182		204		112

Note	Nom	La		Si		Do		Ré		Mi		Fa		Sol		La
	Rapport à La	1:1		9:8		6:5		4:3		3:2		8:5		9:5		2:1
	Harmonique de la fondamentale Si	120		135		144		160		180		192		216		240
	millièmes	0		204		316		498		702		814		1018		1200
écart	Nom		J		s		t		J		s		J		t
	Rapport		9:8		16:15		10:9		9:8		16:15		9:8		10:9
	millièmes		204		112		182		204		112		204		182

Comparaison avec d'autres gammes diatoniques

Pour obtenir une gamme « intense » de Ptolémée à partir d'une gamme tempérée: abaisser les hauteurs des notes Mi, La et Si de l'accord pythagoricien d'un comma syntonique, 81/80, pour donner une intonation juste.

Intervalles entre les notes (intervalles du loup en gras):

	Do	Ré	Mi	Fa	Sol	La	Si	Do'	Ré'	Mi'	Fa'	Sol'	La'	Si'	Do"
Do	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2	9/4	5/2	8/3	3	10/3	15/4	4
Ré	8/9	1	10/9	32/27	4/3	40/27	5/3	16/9	2	20/9	64/27	8/3	80/27	30/9	32/9
Mi	4/5	9/10	1	16/15	6/5	4/3	3/2	8/5	9/5	2	32/15	12/5	8/3	3	16/5
Fa	3/4	27/32	15/16	1	9/8	5/4	45/32	3/2	27/16	15/8	2	9/4	5/2	45/16	3
Sol	2/3	3/4	5/6	8/9	1	10/9	5/4	4/3	3/2	5/3	16/9	2	20/9	5/2	8/3
La	3/5	27/40	3/4	4/5	9/10	1	9/8	6/5	27/20	3/2	8/5	9/5	2	9/4	12/5
Si	8/15	9/15	2/3	32/45	4/5	8/9	1	16/15	6/5	4/3	64/45	8/5	16/9	2	32/15
Do'	1/2	9/16	5/8	2/3	3/4	5/6	15/16	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

Comparativement à l'accord de Pythagore, alors que les deux ne fournissent que des quartes et des quintes parfaites, l'accord ptolémaïque fournit aussi des tierces dites « justes », plus douces et plus faciles à accorder^[9].

Notez que Ré–Fa est une tierce mineure pythagoricienne (32:27), Ré–La est une quinte défectueuse (40:27), Fa–Ré est une sixte majeure pythagoricienne (27:16) et La–Ré est une quarte défectueuse (27:20). Tous ces éléments diffèrent de leurs justes homologues d'un comma syntonique (81:80).

Fa-Si est un triton (plus précisément, la quarte augmentée), ici 45/32.

Cette gamme peut également être considérée comme dérivée de l'accord majeur, et des accords majeurs au-dessus et au-dessous : Fa-La-Do ; Do-Mi-Sol ; Sol-Si-Ré.

Références

↑ Partch, Harry (1979). Genesis of a Music, pp. 165, 173. (ISBN 978-0-306-80106-8).
↑ Murray Campbell, Clive Greated (1994). The Musician's Guide to Acoustics, pp. 172–73. (ISBN 978-0-19-816505-7).
↑ Wright, David (2009). Mathematics and Music, pp. 140–41. (ISBN 978-0-8218-4873-9).
↑ Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "A Notation System for Extended Just Intonation" (2003), "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 78. (ISBN 978-0-252-03098-7).
↑ see John Wallis, Opera Mathematica, Vol. III, Oxford, 1699, p. 39 (Contains Harmonics by Claudius Ptolemy.)
↑ ^{a et b} Chisholm, Hugh (1911). The Encyclopædia Britannica, Vol.28, p. 961. The Encyclopædia Britannica Company.
↑ Dr. Crotch (October 1, 1861). "On the Derivation of the Scale, Tuning, Temperament, the Monochord, etc.", The Musical Times, p. 115.
↑ Chalmers, John H. Jr. (1993). Divisions of the Tetrachord. Hanover, NH: Frog Peak Music. (ISBN 0-945996-04-7) Chapter 2, Page 9
↑ Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p. 100. (ISBN 978-0-252-03098-7).