La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par^[1]

${\displaystyle \quad \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},}$

où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 :

${\displaystyle {\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.}$

Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3).

• La fonction λ est complètement multiplicative car la fonction Ω est complètement additive. Par conséquent λ(1) = 1.
• Elle satisfait l'identité suivante, où ✻ désigne la convolution de Dirichlet, 1 la fonction constante 1 et χ_C la fonction indicatrice de l'ensemble C des carrés parfaits :${\displaystyle \lambda *{\mathbf {1} }=\chi _{C},\quad {\rm {ou~encore~:}}\quad \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$En effet, ces deux fonctions de n sont multiplicatives et coïncident clairement sur les puissances de nombres premiers.
• La fonction de Liouville est l'inverse, pour ✻, de la valeur absolue de la fonction de Möbius μ.
  Cette propriété se déduit de la précédente en remarquant que χ_C ✻ |μ| = 1.
• La série de Dirichlet de λ est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

• La série de Lambert de λ est :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}$

où ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ est une fonction thêta de Jacobi.

On note ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$. Pólya avait conjecturé en 1919^[2] que ${\displaystyle \forall n>1,\;L(n)\leqslant 0}$,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove^[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n^[4],[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 √n pour une infinité d'entiers n^[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini^[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient^[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit ${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$, alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove^[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle b_{i}}$ tous distincts et ${\displaystyle k}$ nombres entiers strictement positifs ${\displaystyle a_{i}}$ avec ${\displaystyle a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\neq 0}$ pour ${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$, on a :

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (a_{1}n+b_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (a_{k}n+b_{k})=o(x)}$ quand ${\displaystyle x\to \infty }$,

où ${\displaystyle o}$ désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour ${\displaystyle k=1}$ puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour ${\displaystyle k\geq 2}$.

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture^[5]. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas ${\displaystyle k=2}$^[6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.

• Portail de l'analyse
• Arithmétique et théorie des nombres