Facteur intégrant

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En mathématiques, un facteur intégrant est une fonction qu'on choisit afin de rendre plus facile la solution d'une équation comportant des dérivées. Les facteurs intégrants sont d'usage commun pour la solution d'équations différentielles, en particulier des équations différentielles ordinaires (EDO), ainsi qu'en calcul différentiel sur plusieurs variables, dans lequel cas la multiplication par un facteur intégrant permet d'obtenir une différentielle exacte à partir d'une différentielle inexacte. Un exemple d'application en thermodynamique : la température est un facteur intégrant qui fait de l'entropie une différentielle exacte.

Solution d'équations différentielles ordinaires de premier ordre

Article détaillé : Équation différentielle linéaire d'ordre un.

Les facteurs intégrants sont associés de près aux équations différentielles linéaires d'ordre un, pour lesquelles, en supposant que $P (x)$ et $Q (x)$ sont des fonctions continues, ils fournissent une méthode de solution^[1]. Pour une EDO de la forme :

y'+P(x)y=Q(x)\quad \quad \quad (1)

considérons une fonction $M (x)$ . On multiplie les deux côtés de (1) par $M (x)$ :

M(x)y'+M(x)P(x)y=M(x)Q(x).\quad \quad \quad (2)

On veut que le côté gauche de l'équation soit de la forme de la dérivée d'un produit (voir la règle du produit), tel que (2) puisse s'écrire :

(M(x)y)'=M(x)Q(x).\quad \quad \quad (3)

Le côté gauche de (3) peut maintenant être intégré :

yM(x)=\int Q(x)M(x)\,\mathrm {d} x,

On peut maintenant résoudre pour $y$ :

y={\frac {\int Q(x)M(x)\,\mathrm {d} x}{M(x)}}.\,

On applique la règle du produit au côté gauche de (3), ce qui est égal au côté gauche de (2) :

M'(x)y+M(x)y'=M(x)y'+M(x)P(x)y.\quad \quad \quad

Donc $M (x)$ vérifie :

M'(x)=M(x)P(x).\quad \quad \quad (4)\,

Autrement dit :

{\frac {M'(x)}{M(x)}}=P(x).\quad \quad \quad (5)

On reconnait la dérivée logarithmique, ce qui permet de résoudre (5) :

M(x)=\exp \left(\int P(x)\,\mathrm {d} x\right),

où $M (x)$ est dit facteur intégrant.

Exemple

On doit résoudre l'équation différentielle suivante.

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Dans ce cas, $P (x) = -2 / x$ , ce qui permet de déduire un facteur intégrant :

M(x)=\exp \left(\int P(x)\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\int {\frac {-2}{x}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp(-2\ln x)={(\exp(lnx))}^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}.

Notons qu'on n'a pas besoin de tenir compte de la constante d'intégration, puisqu'on veut une solution et non pas la solution générale.

En multipliant les deux côtés de l'équation différentielle par $M (x)$ , on obtient une équation qui s'intègre aisément :

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0\quad \Rightarrow \quad :y(x)=Cx^{2}.

Références

↑ « Integrating Factor », MathWorld.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Integrating factor » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

v · m

Équations différentielles

classification

quelques types	ordinaire linéaire Équation différentielle d'ordre un à variables séparées aux dérivées partielles intégro-différentielle opérateur différentiel
attributs des variables	variables dépendantes variables indépendantes équation différentielle homogène équation différentielle autonome forme différentielle exacte
relations de processus	équations stochastiques équations à retard

solutions

existence et unicité	Théorème de Cauchy-Lipschitz Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà Théorème d'existence de Carathéodory Théorème de Cauchy-Kowalevski
à propos des solutions	wronskien portrait de phase espace des phases stabilité de Liapounov stabilité de Von Neumann solutions intégrales intégration numérique fonction delta de Dirac
méthodes de solution	changement de variables séparation des variables variation des constantes facteur intégrant opérateur intégral méthode d'Euler méthode des différences finies méthode de Crank-Nicolson méthodes de Runge-Kutta méthode des éléments finis méthode des volumes finis méthode de Galerkine théorie des perturbations

exemples

mathématiciens

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