Chez les juniors, il monte sur plusieurs podiums aux Championnats du monde de la catégorie en 2006 et 2007. Il est aussi vice-champion champion d'Europe de l'individuel chez les juniors en 2006.
Il a démarré en Coupe du monde, en janvier 2009 à Oberhof, où il marque ses premiers points avec une 29e place sur le sprint. Deux mois plus tard, il monte sur son premier podium en se classant deuxième de l'individuel de Vancouver. Durant la saison 2010-2011, il est présent sur deux relais allemands victorieux en Coupe du monde, à Antholz et Presque Isle. Entre 2009 et 2012, Böhm amasse un total de cinq titres aux Championnats d'Europe, dont ceux de la poursuite en 2009, du sprint en 2010 et de la poursuite en 2012.
Aux Jeux olympiques de Sotchi 2014, Böhm décroche initialement la médaille d'argent dans l'épreuve du relais (4 × 7,5 km), en compagnie de Erik Lesser, Arnd Peiffer et Simon Schempp. Il y est aussi dixième de l'individuel. Dix ans plus tard, en 2024, Böhm et l'Allemagne échangent l'argent contre l'or et sont sacrés champions olympiques de relais 2014 à la suite de la disqualification des Russes pour dopage.
En 2015, alors qu'il affiche son meilleur résultat au classement général de la Coupe du monde, 18e, il devient champion du monde de relais à Kontiolahti avec la même équipe qu'aux Jeux olympiques de Sotchi.
Il prend sa retraite sportive en 2016 pour devenir policier fédéral[1].
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