En mathématiques , une courbe d'Edwards est une courbe elliptique découverte par le mathématicien Harold Edwards [ 1] tordues , font partie des courbes utilisées pour la cryptographie sur les courbes elliptiques [ 2] Bernstein et Lange ont mentionné plusieurs avantages de ces courbes comparativement aux fonctions elliptiques de Weierstrass .
Definition
Des courbes d'Edwards d'équation x 2 + y 2 = 1 + d ·x 2 ·y 2 sur les nombres réels pour d = -300 (rouge), d = -√8 (jaune) et d = 0.9 (bleu). Une courbe d'Edwards sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 est une courbe d'équation :
x
2
+
y
2
=
c
2
(
1
+
d
x
2
y
2
)
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}(1+dx^{2}y^{2})\,}
pour deux scalaires
c
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle c\in K}
d
∈ ∈ -->
K
∖ ∖ -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle d\in K\setminus \{0,1\}}
c
d
(
1
− − -->
c
4
d
)
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle cd(1-c^{4}d)\neq 0\,}
Le cas particulier
c
=
1
{\displaystyle c=1}
x
2
+
y
2
=
1
+
d
x
2
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}\,}
Structure de groupe
Toutes les courbes d'Edwards sont birationnellement équivalentes à une courbe elliptique de Weierstrass . Tout comme les courbes elliptiques, les courbes d'Edwards peuvent être munies d'une structure de groupe généralement notée additivement .
L'élément neutre est le point
(
0
,
c
)
{\displaystyle (0,c)}
L'addition est l'opération suivante :
(
x
,
y
)
+
(
u
,
v
)
↦ ↦ -->
(
x
v
+
u
y
c
(
1
+
d
x
u
y
v
)
,
y
v
− − -->
x
u
c
(
1
− − -->
d
x
u
y
v
)
)
{\displaystyle (x,y)+(u,v)\mapsto \left({\frac {xv+uy}{c(1+dxuyv)}},{\frac {yv-xu}{c(1-dxuyv)}}\right)\,}
L'opposé d'un point
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
− − -->
x
,
y
)
{\displaystyle (-x,y)}
↑ (en) Harold M. Edwards , « A normal form for elliptic curves », Bulletin of the American Mathematical Society vol. 44, 2007 , p. 393-422 (lire en ligne , consulté le 16 décembre 2010 ) ↑ (en) Christiane Peters , « EdwardsCurves », S3 CM 10 juillet 2008 (lire en ligne , consulté le 28 mars 2010 )
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
