En géométrie, les coordonnées angulaires d'un point relativement à un triangle donné, notées (θ₁ : θ₂ : θ₃) sont, à une constante additive près, les angles orientés qu'ils forment avec les sommets d'un triangle.

Pour un triangle ABC, l'angle θ₁ est l'angle orienté ${\textstyle {\widehat {APB}}}$, et ainsi de suite par permutation sur A, B, C.

Ces angles, et ceux formés par addition, sont considérés modulo π.

Définition

Pour un triangle ABC, les coordonnées angulaires d'un point P sont définies de façon unique si et seulement si P ne se situe pas sur le cercle circonscrit à ABC^[1].

Somme

Les coordonnées angulaires d'un point P (θ₁, θ₂, θ₃) vérifient θ₁ + θ₂ + θ₃ ≡ 0 [2π].

Liens avec les autres systèmes de coordonnées

Pour un point P de coordonnées angulaires (θ₁, θ₂, θ₃), ses coordonnées trilinéaires sont^[2]:

${\displaystyle \left({\frac {\sin(\theta _{1})}{\sin(A-\theta _{1})}}:{\frac {\sin(\theta _{2})}{\sin(B-\theta _{2})}}:{\frac {\sin(\theta _{3})}{\sin(C-\theta _{3})}}\right)}$

Ses coordonnées barycentriques se déduisent donc :

${\displaystyle \left({\frac {a\sin(\theta _{1})}{\sin(A-\theta _{1})}}:{\frac {b\sin(\theta _{2})}{\sin(B-\theta _{2})}}:{\frac {c\sin(\theta _{3})}{\sin(C-\theta _{3})}}\right)}$

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De par leur définition, l'expression des coordonnées angulaires d'un point ne sont pas simples, car le lien avec les autres systèmes de coordonnées n'est pas rationnel. On a quelques expressions simples, par exemple, les coordonnées angulaires du centre du cercle circonscrit au triangle de référence sont ${\displaystyle (2A,2B,2C)}$.

On leur préférera les coordonnées tricycliques, qui sont définies à partir des rayons des cercles circonscrits aux triangles formés par le point et deux sommets.

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