En mathématiques, les conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta, d'après Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood, sont deux conjectures concernant la répartition et la densité des zéros de la fonction zêta de Riemann.

En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé^[1] que la fonction zêta de Riemann ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ a une infinité de zéros réels.

Soit ${\displaystyle N(T)}$ le nombre de zéros réels inférieurs, ${\displaystyle N_{0}(T)}$ le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$, situés sur l'intervalle ${\displaystyle ]0,T]}$ .

Hardy et Littlewood ont avancé^[2] deux conjectures.

1. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ tel que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }}$ l'intervalle ${\displaystyle ]T,T+H]}$ contient un zéro d'ordre impair de la fonction ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ .
2. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ et ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, tels que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ l'inégalité ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$ est vérifiée.

En 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$ il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ et ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, tels que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ ont ait l'inégalité ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$.

À son tour, Selberg fait une conjecture^[3] selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant ${\displaystyle a=0.5}$ pour ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$, ce qui a été prouvé 42 ans plus tard par A. Karatsuba^[4].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hardy–Littlewood zeta-function conjectures » (voir la liste des auteurs).

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