Le codage zeta ou codage de Boldi-Vigna est un codage entropique inventé par Paolo Boldi et Sebastiano Vigna en 2003 et utilisé essentiellement en compression de graphes.

Le code zeta produit est un code préfixe et universel.

Le codage zeta d'un entier naturel ${\displaystyle N}$ dépend d'un paramètre ${\displaystyle k}$ et se fait en deux étapes :

1. le codage de l'exposant de la plus grande puissance de ${\displaystyle 2^{k}}$ inférieure ou égale à ${\displaystyle N}$ avec un codage unaire ;
2. le codage de la différence entre ${\displaystyle N}$ et cette plus grande puissance avec un codage binaire tronqué.

Mathématiquement, pour coder un entier ${\displaystyle N,N\in \left[(2^{k})^{h}..(2^{k})^{h+1}\right]}$, on code d'abord ${\displaystyle h={\Big \lfloor }{\dfrac {\lfloor \log _{2}N\rfloor }{k}}{\Big \rfloor }}$ en unaire, puis ${\displaystyle N-(2^{k})^{h}}$ en binaire tronqué avec un alphabet de taille ${\displaystyle (2^{k})^{h+1}-(2^{k})^{h}}$

On appelle ${\displaystyle \zeta _{k}}$ la fonction associant à un entier naturel son code zeta paramétré par ${\displaystyle k}$.

Le codage zeta de paramètre 1 (utilisant la fonction ${\displaystyle \zeta _{1}}$) est équivalent au codage gamma et produit exactement les mêmes codes.

Comme pour les codages gamma, delta et omega, il est possible de coder des entiers relatifs avec le codage zeta en utilisant une bijection pour transformer les nombres négatifs ou nul en nombres strictement positifs avant le codage à proprement parler. Après le décodage, l'opération inverse doit être effectuée pour retrouver les entiers relatifs d'origine.

Le nombre ${\displaystyle N-(2^{k})^{h}}$ codé en binaire tronqué nécessite un alphabet de taille ${\displaystyle (2^{k})^{h+1}-(2^{k})^{h}=(2^{k}-1)\cdot 2^{kh}}$. Il peut être divisé en ${\displaystyle 2^{k}-1}$ groupes de ${\displaystyle 2^{kh}}$ symboles. Si ${\displaystyle kh}$ bits de poids faible sont nécessairement écrits, l'indice du premier groupe peut-être tronqué à ${\displaystyle k-1}$ bits de poids fort. Les ${\displaystyle 2^{k}-2}$ indices suivants sont exprimés avec ${\displaystyle k}$ bits de poids fort.

Le nombre ${\displaystyle N-(2^{k})^{h}}$ appartient au premier groupe si :
${\displaystyle {\frac {N-(2^{k})^{h}}{2^{kh}}}<1\;\Longleftrightarrow \;{\frac {N}{2^{kh}}}<2\;\Longleftrightarrow \;\log _{2}N-kh=r<1}$ avec ${\displaystyle r}$ le reste de la division entière ${\displaystyle \log _{2}N=kh+r}$.

Le nombre ${\displaystyle h}$ est codé sur ${\displaystyle h+1}$ bits.

En récapitulatif, le nombre N est codé sur ${\displaystyle L=(k+1)(h+1)-{\begin{cases}1&{\text{si }}r<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$ bits, avec ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle r}$ définis par la division entière ${\displaystyle \log _{2}N=kh+r}$.

• Paolo Boldi, Sebastiano Vigna, « The WebGraph Framework II: Codes for the World-Wide Web », Proceedings of the Data Compression Conference, pp. 528, mars 2004.
• Paolo Boldi, Sebastiano Vigna Codes for the World Wide Web Internet Mathematics Vol. 2, No. 4: 407-429

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