Dans une autre branche des mathématiques, il a mené des recherches approfondies sur les équations différentielles, en particulier la théorie du dernier multiplicateur, laquelle est soigneusement traitée dans son Vorlesungen über Dynamik, édité par Alfred Clebsch (Berlin, 1866).
C'est surtout en analyse que Jacobi apporte de nombreuses contributions, avec des applications aux autres domaines des mathématiques, comme le montre la longue liste de ses publications dans le Journal de Crelle ou dans d'autres journaux. Il est l'un des fondateurs de la théorie des déterminants. En particulier, il invente le déterminant de la matrice (dite jacobienne) formée par les n2dérivées partielles de n fonctions données de n variables indépendantes. Son déterminant, le déterminant jacobien est crucial dans le calcul infinitésimal.
« Si une fonction analytique d'une variable complexe est périodique, alors elle a au plus deux périodes indépendantes. Dans ce cas, le quotient de ces périodes n'est pas un nombre réel. »
Jacobi a réduit l'équation quintique générale à la forme x5 - 10 q2x = p. Ses présentations sur les « transcendants abéliens » sont tout aussi remarquables, tout comme ses recherches sur la théorie des nombres, où il a surtout complété les travaux de Gauss.
La théorie planétaire et d'autres problèmes dynamiques particuliers ont occupé son attention de temps en temps. Pendant qu'il contribue à la mécanique céleste, il introduit la jacobienne pour un système de coordonnées sidérales.
Il a laissé une grande quantité de manuscrits dont une partie a été publiée irrégulièrement dans le Journal de Crelle. Ses autres travaux comprennent Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832), Canon arithmeticus(en) (1839), et Opuscula mathematica (1846-1857). Ses œuvres complètes (Gesammelte Werke) (1881-1891) ont été publiées par l'Académie de Berlin. Sa réalisation la plus connue est probablement la théorie de Hamilton-Jacobi de la mécanique newtonienne.
Dans une lettre du adressée à Adrien-Marie Legendre, Jacobi écrit : « M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question du système du monde[3]. »
L'expression est restée[4] et renvoie à un débat toujours d'actualité.
Par décision du Sénat de Berlin, la dernière demeure de Carl Gustav Jacob Jacobi (tombe DV2-SA-1T) a été consacrée comme tombe honorifique du Land de Berlin(de) depuis 1980. La consécration a été prolongée en novembre 2001 de la durée désormais habituelle de vingt ans.
↑(la) C. G. J. Jacobi, « De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quibus theoria transcendentium Abelianarum innititur », J. reine angew. Math., vol. 13, , p. 55-78 (lire en ligne).
↑Silvano Martello, « Jenö Egerváry: from the origins of the Hungarian algorithm to satellite communication », Central European Journal of Operations Research, vol. 18, no 1, , p. 47-58 (lire en ligne).
↑ C. G. J. Jacobi, lettre à Legendre, 2 juillet 1830, in Gesammelte Werke, vol. I, Berlin, 1881, p. 454-455.
↑Jean Dieudonné l'a popularisée dans son livre : Pour l'honneur de l'esprit humain — les mathématiques aujourd'hui, éd. Hachette, coll. Histoire et phil. des sc. (1987) (pour grand public).
(en) David Hestenes, New Foundations of Classical Mechanics, Dordrecht, Kluwer Adademic Publishers, 1986.
(de) Leo Königsberger (Hrsg.): Carl Gustav Jacob Jacobi, Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages. Mit einem Bildnis und dem Faksimile eines Briefes. Teubner 1904 (darin die Biographie von Jacobi von Koenigsberger) Online.
(de) Kurt-Reinhard Biermann: Carl Gustav Jacobi. In: Hans Wußing, Wolfgang Arnold: Biographien bedeutender Mathematiker. Volk und Wissen, Berlin 1989.
(de) Felix Klein: Geschichte der Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert. Springer (online).
(de) Eberhard Knobloch, H. Pieper, H. Pulte: „..... das Wesen der reinen Mathematik verherrlichen“. Reine Mathematik und mathematische Naturphilosophie bei C. G. J. Jacobi. Mit seiner Rede zum Eintritt in die philosophische Fakultät der Universität Königsberg aus dem Jahre 1832. In: Mathematische Semesterberichte, Band 42, Heft 2, 1995, p. 1–32.