En 2013-2014, Carter débute dans la LHOu avec les Silvertips d'Everett. Il joue seulement 2 parties dans lesquelles il perd 2 fois, une fois en temps régulier, une fois en prolongation. L'année suivante, il joue 30 matchs et inscrit 18 victoires, 5 défaites et 5 nulles pour une moyenne de 2,29 buts accordés par match. En 2015-2016, cette fois-ci, il est le gardien partant de l'équipe et il ne déçoit pas. En 63 matchs, gagne 35 fois, perd 23 fois et égalise 4 fois pour une impressionnante moyenne de 2.14 buts accordés par match.
Après cette bonne saison, Hart est maintenant éligible pour le repêchage d'entrée dans la LNH 2016. Il est classée deuxième chez les gardiens de but nord-américains[1]. Il est repêché au deuxième tour au 48e échelon par les Flyers de Phiadelphie.
Après s'être fait repêcher, Carter ne joua pas dans la LNH tout de suite mais joua deux autres saisons dans la LHOu. Lors de ces deux saisons, il joua 95 matchs pour un bilan de 63 victoires, 17 défaites et 9 matchs nuls.
Au début de la saison 2018-2019, il fut assigné dans la LAH par les Phantoms de Lehigh Valley. Mais le 18 décembre 2018, il fut rappelé par les Flyers qui étaient avec un record du plus grand nombre de gardiens de buts différents en une saison[2]. Dès son premier match, il fit parler. Il gagna 3-2 contre les Red Wings de Détroit, le plus jeune depuis le gardien étoile du CH, Carey Price à gagner un match à son premier match en LNH[3].
À la fin du mois de janvier 2019, il fut nommé la recrue du mois avec une fiche de 6-2-1, une moyenne de 2,33 buts accordés par match et un pourcentage d'arrêt de .931 %. Il faut aussi ajouter qu'il avait une séquence de 5 matchs gagnés consécutifs à la fin du mois[4].
Le 23 janvier 2024, les Flyers annoncent que Hart se voit accorder un congé indéfini de l'équipe[7]. Le , Hart est accusé d'agression sexuelle après une agression présumée en 2018 à London, en Ontario[8].
