Finnegan est le 17e joueur sélectionné au total par un club du baseball majeur au repêchage amateur de 2014 et le choix de première ronde des Royals de Kansas City[2]. La franchise lui accorde une prime de 2 200 600 dollars US à la signature de son premier contrat professionnel[4]. Il met peu de temps à atteindre les Ligues majeures, et est le premier joueur repêché en première ronde en 2014 à atteindre le plus haut niveau[5]. Après la signature de son contrat avec les Royals, il est assigné à leur club-école de niveau A+ pour 5 départs, avant de graduer au niveau Double-A des ligues mineures, où il apparaît dans 8 matchs comme lanceur de relève[6]. Il fait ses débuts dans le baseball majeur le 6 septembre 2014 avec Kansas City en lançant deux manches parfaites en relève contre les Yankees de New York[7].
