Né à Mar del Plata en Argentine, Braian Cufré est formé dans le club de Vélez Sarsfield. C'est avec ce club qu'il débute en professionnel, lors d'une rencontre face au CA Lanús le 18 octobre 2015. Il est titulaire au poste de milieu gauche, et son équipe s'impose 0-1[1]. Cufré devient un membre important de l'équipe première à partir de l'année 2017.
Le 22 septembre 2018 il marque son premier but en championnat contre le CA Talleres, permettant à son équipe de faire match nul, un but partout[2].
Cufré inscrit son premier but pour le New York City FC le , lors d'une rencontre de MLS face au FC Cincinnati. Titularisé, il ne peut empêcher la défaite de son équipe malgré son but (1-3 score final)[6].
Retour au Vélez Sarsfield
Le , Braian Cufré fait son retour au Vélez Sarsfield, qu'il rejoint librement. Il signe un contrat d'un an[7].