Bob Davidson arbitre son premier match le et devient membre à temps plein du personnel d'arbitres de la Ligue nationale en 1983. Il quitte les majeures en 1999 lorsqu'il est l'un des quelques arbitres à démissionner, suivant les conseils d'un chef syndical, durant un conflit de travail pour forcer la main des hautes instances de la Ligue majeure. Ce sera une décision que Davidson regrettera longtemps, puisque la ligue accepte les démissions et engage de nouveaux arbitres, au bas de l'échelle salariale[1]. Alors qu'il approche la cinquantaine, Davidson doit reprendre sa carrière d'arbitre dans les ligues mineures et faire son chemin jusque dans les majeures[2]. En 2004, trois des 22 arbitres ayant démissionné en 1999 se voient promettre un nouvel emploi dans les majeures dès qu'un poste sera disponible (les deux autres sont Tom Hallion et Ed Hickox[3]. Davidson redevient arbitre des Ligues majeures de baseball en 2008, à la suite de l'annonce de la retraite de Joe Brinkman[4].
Surnommé Balkin' Bob pour fréquemment appeler des feintes illégales (balk, en anglais) contre les lanceurs, Bob Davidson a terminé 4e sur la liste des pires arbitres de Ligue majeure dressée par Sports Illustrated en 2011 après un sondage auprès des joueurs[7]. Il est aussi connu reconnu pour ses fréquentes sautes d'humeur[8], pour fréquemment expulser des joueurs ou des entraîneurs[9], et pour quelques mauvaises décisions, notamment durant la Série mondiale 1992 où il déclare Deion Sanders, des Braves d'Atlanta, sauf au marbre, une erreur, plus tard avouée par Davidson, qui prive les Blue Jays de Toronto d'un triple jeu[10].