Axiome de l'ensemble des parties

En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.

L'axiome affirme l'existence pour tout ensemble E, d'un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci. Un tel ensemble est nommé ensemble des parties de E, d'où le nom de l'axiome.

Cet axiome s'écrit dans le langage formel de la théorie des ensembles, qui est un langage égalitaire du premier ordre avec la relation d'appartenance comme seul symbole primitif non logique. On peut tout d'abord définir formellement l'inclusion :

A ⊂ B    signifie    ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) .

L'axiome s'écrit alors :

∀E ∃P ∀A (A ∈ P ⇔ A ⊂ E).

qui se lit en français :

Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E.

Il n'est pas nécessaire d'énoncer dans l'axiome l'unicité de cet ensemble P pour un E donné. Celle-ci est assurée par l'axiome d'extensionnalité. On peut donc parler de l'ensemble des parties de E, et on note celui-ci habituellement « P(E) » ou «  » ; la lettre P gothique «  » a été aussi beaucoup utilisée.

Rôle de l'axiome

En présence de l'axiome de l'infini, l'axiome de l'ensemble des parties permet de prouver l'existence d'ensembles infinis non dénombrables.

En raison du théorème de Cantor, en itérant l'ensemble des parties sur des ensembles infinis on obtient des ensembles de plus en plus « grands » ; pour cette raison l'axiome renforce considérablement la théorie (voir la hiérarchie cumulative). Or pour des raisons théoriques on peut avoir besoin d'une axiomatique faible, ainsi la théorie des ensembles de Kripke-Platek, qui permet de caractériser certaines classes d'ensembles et d'ordinaux, ne comprend pas cet axiome.

En contrepartie, il peut être utile d'ajouter les entiers comme éléments primitifs (ur-elements). Pour prendre un exemple très simple, la logique du second ordre, que l'on peut voir comme une théorie des ensembles très faible, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties. Mais si on a les entiers (donnés par exemple par 0 et un symbole pour le successeur) dans le langage, on peut développer l'arithmétique du second ordre, et donc, avec quelques axiomes, une théorie suffisante pour l'analyse réelle usuelle (on a les entiers et les ensembles d'entiers, mais pas les ensembles d'ensembles d'entiers).

Il a été démontré que la théorie ZF privée de l'axiome de l'ensemble des parties admet une interprétation dans la théorie Z privée de cet axiome[1].

En théorie des types, les sous-ensembles d'un ensemble E sont d'un type différent, plus complexe, que les éléments de E.

Notes et références

  1. ↑ V. G. Kanovei, Matematicheskie Zametki, Vol. 30, No 3, pp. 407-419, septembre 1981 ; publié en anglais par Springer ((en) aperçu en ligne).

Read other articles:

Gempa bumi Ludian 2014

Gempa bumi Ludian 2014Kerusakan di Zhoujiaping setelah gempaTampilkan peta TiongkokTampilkan peta YunnanWaktu UTC2014-08-03 08:30:13ISC605131010USGS-ANSSComCatTanggal setempat3 Agustus 2013Waktu setempat16:03:13Kekuatan6.1 MwKedalaman10,0 km (6,2 mi)Episentrum27°14′42″N 103°25′37″E / 27.245°N 103.427°E / 27.245; 103.427Koordinat: 27°14′42″N 103°25′37″E / 27.245°N 103.427°E / 27.245; 103.427Wilayah...

 

 

Siddur

Sebuah siddur hasil tulisan tangan. Siddur merupakan sebuah istilah Ashkenazi (Yahudi Jerman) untuk buku doa Yahudi. Di dalam Siddur, terdapat urutan doa harian yang wajib dilakukan oleh orang Yahudi setiap hari. Artikel bertopik Yahudi ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.lbs Artikel rintisan ini tidak memiliki kategori.Tolong bantu Wikipedia untuk menambahkan kategori. Tag ini diberikan pada Januari 2023.

 

 

Jari

JariJari tanganJari kakiRincianPengidentifikasiBahasa LatinDigitusDaftar istilah anatomi[sunting di Wikidata] Untuk kota di Brasil, lihat Jari (kota). Jari atau jeriji[1] (Inggris: digit) merupakan bagian ujung dari anggota gerak, seperti tangan dan kaki, yang terdapat pada manusia dan hewan vertebrata. Jari manusia Jari-jari tangan kiri manusia Manusia pada umumnya memiliki 5 buah jari pada setiap ekstremitas yang ada (baik pada tangan maupun kaki), sehingga total jari yang d...

Jules Cazot

Pour les articles homonymes, voir Cazot. Jules CazotJules Cazot avant 1912.FonctionsPremier président de la Cour de cassation12 avril 1883 - 15 novembre 1884Georges-Louis MercierJules-Claude BarbierPrésident du conseil général du Gard1880-1883Louis LagetFrançois PerrierSénateur inamovible16 décembre 1875 - 27 novembre 1912Député françaisAssemblée nationaleGard12 février 1871 - 7 mars 1876Conseiller général du GardCanton d'Anduze1871-1883David Mazarin (d)Henry Mazade (d)Biograph...

 

 

Первородный грех

Об экономическом термине см. Первородный грех (экономика). ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Ран�...

 

 

Marawi

Islamic City of Marawi Lungsod Islamiko ng MarawwiMarawi CityKota LambangJulukan: Kota Islam di FilipinaPeta Lanao del Sur yang menunjukkan lokasi Marawi City.NegaraFilipinaRegionWilayah Otonomi Muslim MindanaoProvinsiLanao del Sur (ibu kota)Barangay96Pendirian (kota)1907Pemerintahan • Wali kotaSultan Fahad Pre SalicLuas • Total87,55 km2 (3,380 sq mi)Ketinggian[1]700 m (2,300 ft)Populasi (2010) • Total187.106Zona w...

Padang rumput

Padang rumput dekat Grindelwald di Pegunungan Alpen di Swiss Padang rumput Quamash di Idaho Padang rumput pantai di Teluk Biscay di Spanyol Padang rumput banjir di Austria Sebuah padang rumput merupakan habitat terbuka, ladang, atau lapangan yang ditumbuhi oleh rumput dan tanaman tak berkayu lainnya.[1] Padang rumput menarik banyak satwa liar dan mendukung flora dan fauna yang tidak dapat berkembang di habitat lain. Padang rumput menyediakan area untuk bersarang, mengumpulkan makanan,...

 

 

Большая Мурта

Посёлок городского типаБольшая МуртаНымырттығ 56°54′25″ с. ш. 93°09′59″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект Федерации Красноярский край Муниципальный район Большемуртинский Городское поселение посёлок Большая Мурта Глава Котыхов Алексей Владимирович История и...

 

 

WarGames

1983 science-fiction film directed by John Badham This article is about the 1983 film. For the 2002 short film, see War Game (film). For the 1966 television film, see The War Game. For other uses, see War Game. WOPR redirects here. For the radio station, see Old Paths Radio Network. WarGamesTheatrical release posterDirected byJohn BadhamWritten by Lawrence Lasker Walter F. Parkes Produced byHarold Schneider[1]Starring Matthew Broderick Dabney Coleman John Wood Ally Sheedy Cinematograp...

Palo Verde College

Public community college in California, US Palo Verde Community CollegeTypePublic community collegeEstablished1947PresidentDonald WallaceStudents2,261[1]LocationBlythe, California, United States33°39′44″N 114°39′10″W / 33.66222°N 114.65278°W / 33.66222; -114.65278CampusRural, 200 acres (81 ha) main campusNicknamePiratesWebsitewww.paloverde.edu Palo Verde College, formerly Palo Verde Junior College, is a public community college in Blythe, Calif...

 

 

Rugao

County-level city in Jiangsu, People's Republic of ChinaRugao 如皋市County-level cityRugaoLocation in JiangsuCoordinates: 32°14′46″N 120°35′28″E / 32.246°N 120.591°E / 32.246; 120.591[1]CountryPeople's Republic of ChinaProvinceJiangsuPrefecture-level cityNantongArea • Total1,576.47 km2 (608.68 sq mi)Population (2018) • Total1,241,700 • Density790/km2 (2,000/sq mi)Time zoneUTC+8 (China S...

 

 

Повітряні сили Збройних сил України

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Мат...

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統） 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

 

 

1957 Israeli presidential election

1957 Israeli presidential election ← 1952 28 October 1957 1962 →   Nominee Yitzhak Ben-Zvi Party Mapai Electoral vote 76 President before election Yitzhak Ben-Zvi Mapai Elected President Yitzhak Ben-Zvi Mapai An election for President of Israel was held in the Knesset on 28 October 1957 following the end of Yitzhak Ben-Zvi's five-year term in office. Ben-Zvi stood again, and it was suggested that Yosef Yoel Rivlin (father of future president Reuven Rivlin) woul...

 

 

الدراسات الهندسية

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. الدراسات الهندسية (بالإنجليزية: Engineering studies)‏ هي فرع متعدد التخصصات في العلوم الاجتماعية والإنسانية المكرسة لدراسة المهندسين وأنشطتهم.[1] ويرجع المهندسين الدارسين فيما ب...

Резолюція ГА ООН «Проблема мілітаризації АР Крим та м. Севастополь (Україна), а також частин Чорного і Азовського морів» (2018)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Резолюція ГА ООН «Проблема мілітаризації АР Крим та м. Севастополь (Україна), а також частин Чорного і Азовського морів». Резолюція Генеральної Асамблеї ООН A/RES/73/194 «Проблема мілітаризації Автономної Республіки Крим т...

 

 

Ice Age Trail

Long-distance hiking trail in the United States This article is about the trail in Wisconsin. For the trail of the same name in Germany, see Tiefwarensee Ice Age Trail. Ice Age National Scenic TrailThe Ice Age Trail's Wood Lake segment in Taylor CountyLength675 miles (1,086 km) completed1,200 miles (1,900 km) plannedLocationWisconsin, United StatesDesignationNational Scenic TrailTrailheadsPotawatomi State Park, Door County, WisconsinInterstate State Park near St. Croix Falls, Wisco...

 

 

حزب الحرية السريلانكي

حزب الحرية السريلانكي (بالسنهالية: ශ්‍රී ලංකා නිදහස් පක්ෂය)‏(بالتاميلية: இலங்கை சுதந்திரக் கட்சி)‏(بالإنجليزية: Sri Lanka Freedom Party)‏  البلد سريلانكا  تاريخ التأسيس 2 سبتمبر 1951  المؤسسون س دبليو أر دي باندارانايكا  قائد الحزب ماهيندا راجاباكشا...

Ohio Township, Crawford County, Indiana

Township in Indiana, United StatesOhio TownshipTownshipLocation of Ohio Township in Crawford CountyCoordinates: 38°11′57″N 86°24′57″W / 38.19917°N 86.41583°W / 38.19917; -86.41583CountryUnited StatesStateIndianaCountyCrawfordGovernment • TypeIndiana townshipArea • Total30.73 sq mi (79.6 km2) • Land30.1 sq mi (78 km2) • Water0.62 sq mi (1.6 km2)Elevation[1]5...

 

 

Francesco Rustici

Disambiguazione – Se stai cercando il quasi omonimo scultore, vedi Giovan Francesco Rustici. La Maddalena (Fondazione Cariplo) Francesco Rustici detto Il Rustichino (Siena, 1592 – 1626) è stato un pittore italiano. Indice 1 Biografia 2 Opere 3 Bibliografia 4 Altri progetti 5 Collegamenti esterni Biografia Allievo del padre Vincenzo, si avvicinò più tardi a modelli di matrice caravaggesca, caratterizzati dal gioco luministico delle visioni notturne - in uno stile pittorico noto come te...