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Andrej Jeliazkov commence à jouer dans le club de sa ville natale, le PFC Minyor Radnevo. Puis il est recruté par le PFC Slavia Sofia. Avec ce club, il remporte deux Coupes de Bulgarie en 1972 et en 1980 et devient international en 1974.
Il rejoint en 1986, le K Beerschot VAV. Après une dernière saison au PFC Slavia Sofia, il termine sa carrière professionnelle en 1989.
Andrej Jeliazkov participe à la Coupe du monde 1986 avec la Bulgarie. Lors de cette compétition, il dispute trois matchs : un face à l'Italie, un face à la Corée du Sud, et enfin une rencontre face à l'Argentine[6]. La Bulgarie atteint les huitièmes de finale de la compétition, en se faisant éliminer par le Mexique.
Après sa carrière de joueur, Andrej Jeliazkov se reconvertit en entraîneur. Il dirige les joueurs du PFK Levski Sofia pendant cinq saisons, de 1992 à 1997.
Il devient ensuite agent de joueurs. Puis à compter de 2004, il est « scout » pour le compte du Feyenoord Rotterdam.
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