Il fit sans doute sa scolarité comme enfant de chœur de l'église Notre-Dame de Courtrai, avant de devenir chantre professionnel. Il obtint ensuite le poste de maître de chapelle à la cathédrale Saint-Sauveur de Bruges au début de 1563, puis occupa un poste identique à l'église Notre-Dame de Courtrai à partir du 17 octobre de la même année. C'est en 1564 qu’il obtint, en tant que chapelain, une prébende à l'église Saint-Willibrord de Hulst, pour y devenir chapelain permanent en 1569. Il continua pourtant à vivre à Courtrai. À Hulst, il rejoignit la guilde de sainte Cécile, pour laquelle il écrivit plusieurs de ses œuvres musicales.
Les guerres de religion du XVIe siècle furent aussi dévastatrices aux Pays-Bas que dans les régions adjacentes. Courtrai fut également touchée par la guerre ; Pevernage fuit la ville avec sa famille en 1577 ou 1578 lorsque celle-ci est reprise par les gueux. Les gueux calvinistes se montraient plutôt hostiles à la musique polyphonique et, Pevernage étant de confession catholique, sa carrière s'en trouvait compromise. Sa famille déménagea à Anvers, où il demeura jusqu'à l'année suivante. En raison des troubles religieux de 1578, il quitta Anvers avec sa famille, fut nommé la même année maître de chapelle à Bruges, mais perdit cet emploi lorsque les calvinistes reprirent la ville. Toutefois, en 1584, il put reprendre son ancien emploi de maître de chapelle à Courtrai.
Lorsque les Espagnols, après le siège d'Anvers, chassèrent les Calvinistes de la ville en , Pevernage fut nommé maître de chapelle à la cathédrale Notre-Dame d'Anvers, le 29 octobre. L'une de ses tâches était de reconstituer la bibliothèque de musique de la cathédrale, après que celle-ci eut été pillée et incendiée par les calvinistes. Il occupa son poste jusqu'à sa mort en 1591 et fut enterré dans la cathédrale.
six messes à cinq et sept voix, publiées après sa mort à Anvers en 1602 ;
une collection de motets, publiée sous le titre Cantiones sacræ en 1578, y compris des œuvres profanes dont plusieurs de circonstance, en l’honneur de la noblesse (comme Marguerite de Parme) ;
Stylistiquement, ses œuvres représentent la pratique, caractéristique du XVIe siècle tardif, d’alterner des morceaux homophones avec d’autres, écrits dans un tissu polyphonique où les voix alternantes fonctionnent comme dans les cori spezzati ; l’influence de l’école vénitienne (représentée par Adrien Willaert et Giovanni Gabrieli) a ainsi été ressentie jusqu’aux Pays-Bas.
Pevernage écrivit également des madrigaux italiens. Les madrigaux sur des paroles italiennes étaient très demandés en Europe du Nord : l’engouement pour le genre n’atteindra l’Angleterre que vers la fin des années 1580. Pevernage écrivit aussi des chansons françaises, publiées en quatre livres distincts. Les chansons se caractérisent par l’emploi de syncopes, mélismes et rythmes complexes.
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