Membre du club de Bonneval-sur-Arc, Anselmet prend part à ses premières courses officielles internationales durant la saison 1995-1996.
En , il gagne le titre de champion de France de slalom géant. Début 1998, il découvre la Coupe d'Europe, compétition dans laquelle il monte sur quatre podiums entre 2006 et 2009.
Aux Championnats du monde junior 1999, il remporte la médaille de bronze sur le slalom, alors qu'en 2000, il se classe quatrième dans la même épreuve.
Il fait ses débuts dans la Coupe du monde en à Aspen. Lors de sa quatrième à ce niveau, en , le slalom d'Adelboden, il marque ses premiers points avec une 26e place. Il retrouve le top 30 qu'en 2006 à Shigakogen avant de réaliser son meilleur résultat sur la scène internationale avec une septième place au slalom de Beaver Creek. Le skieur est sélectionné pour les Championnats du monde 2007 où il ne parvient pas à finir le slalom.
Aux Championnats du monde 2009, il est disqualifié lors de la première manche du slalom.
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