Albert Popov est né à Sofia et fait ses débuts en Coupe du monde en 2014, à l'âge de 17 ans. Quelques mois plus tard, il participe aux Championnats du monde de ski alpin FIS 2015, au cours desquels il abandonne à la fois en slalom et en slalom géant.
Popov a été impliqué dans un grave accident de voiture le , alors qu'il revenait d'un entraînement près de Sölden. Il était l'un des deux passagers d'un véhicule conduit par Drago Grubelnik, alors entraîneur-chef de l'équipe de ski bulgare, qui était également accompagné de son assistant, Mitko Hristov. Les trois occupants de la voiture ont été blessés dans l'accident. Grubelnik est décédé des suites de ses blessures dans un hôpital de Murnau, en Allemagne[3]. Popov est finalement revenu sur le circuit FIS lors de la saison 2016-2017 et participe aux Championnats du monde 2017, où il termine 27e en slalom et 30e en slalom géant, ainsi qu'aux Championnats du monde junior à Åre, où il termine cinquième du slalom géant, septième du combiné alpin et huitième du slalom spécial.
Son émergence en Coupe du monde a eu lieu lors de la première course de la saison 2018-19 à Levi, où il se classe vingtième, marquant 11 points, une première pour la Bulgarie en Coupe du monde de slalom depuis Petar Popangelov lors de la saison 1986-1987[5]. Popov a ensuite obtenu une seizième place à Madonna di Campiglio en décembre, après avoir pris le départ avec le dossard numéro 72[6]. Le , il termine neuvième du slalom de Kitzbühel , meilleur résultat pour un skieur bulgare depuis que Popangelov s'est classé septième à Heavenly Valley en 1985-1986[7],[8]. Trois jours plus tard, il s'améliore encore en terminant sixième à Schladming, le meilleur résultat en ski alpin de son pays depuis la sixième place de Popangelov à Park City lors de la saison 1984-1985[9]. Aux Championnats du monde à Åre, il finit le slalom géant (29e), mais pas le slalom spécial.
Lors de la saison 2020-2021, il doit attendre sa cinquième course de l'hiver pour marquer des points pour la Coupe du monde (16e à Flachau), puis égale sa meilleure performance dans l'élite, comme deux ans plus tôt à Schladming. Ensuite, aux Championnats du monde à Cortina d'Ampezzo, il prend la 24e au slalom géant, sa meilleure place en grand championnat, avant de nouveau échouer à rejoindre l'arrivée en slalom.
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