Alapati Leiua est né dans le village de Malie(en) sur l'île d'Upolu aux Samoa[5]. Il émigre en Nouvelle-Zélande à l'âge de 16 ans pour étudier au Porirua College, où il pratique le rugby[5],[6]. Après avoir terminé le lycée, il joue avec le club amateur du Northern United RFC dans le championnat de la région de Wellington[7]. Il se montre alors particulièrement performant, inscrivant dix-neuf essais en quatorze matchs en 2009[7].
Grâce à ses performances en club, il est retenu avec la province de Wellington pour disputer la saison 2009 de NPC[7]. Lors de sa première saison, il dispute treize rencontres, et inscrit cinq essais[1].
En , il est retenu par la franchise des Hurricanes pour disputer la saison 2010 de Super 14[8],[9]. Il joue son premier match de Super Rugby le contre les Cheetahs[10]. Il joue trois rencontres lors de sa première saison[1]. Les saisons suivantes, il obtient un temps de jeu conséquent au poste d'ailier, à cause de la présence du All BlackConrad Smith à son poste favori de second centre[11]. Il est également utilisé au poste de premier centre à la fin de la saison 2014[11].
En 2014, il rejoint le club anglais des Wasps qui évolue en Premiership[12]. Il joue trois saisons avec ce club, où il obtient un temps de jeu limité en raison de blessures[13].
En 2017, il rejoint Bristol Rugby, entraîné par son compatriote Pat Lam, qui viennent alors d'être relégués en RFU Championship (2e division anglaise)[14]. Il s'impose immédiatement comme un cadre de cette équipe, et participe à leur remontée immédiate en Premiership pour la saison 2018-2019[15]. En , il prolonge son contrat pour deux années supplémentaire, soit jusqu'en 2021[16]. En , il est titulaire au poste d'ailier lors de la finale du Challenge européen que son équipe remporte face au RC Toulon[17]. En , il prolonge une nouvelle fois son contrat, cette fois pour une durée d'une saison[18].
En , après cinq saisons à Bristol, il est annoncé qu'il rejoint le club français du RC Vannes, évoluant en Pro D2, pour un contrat de deux saisons[19]. Il est toutefois recalé à la visite médicale réglementaire, et voit son contrat annulé[20].
Libre de tout contrat, il rentre alors en Nouvelle-Zélande, et dispute le NPC 2022 avec la province de Waikato[2],[21].
