Σ-kompakti avaruus

Matematiikassa topologisen avaruuden sanotaan olevan σ-kompakti, jos se on numeroituvan monen kompaktin aliavaruuden yhdiste.[1]

Avaruuden sanotaan olevan σ-paikallisesti kompakti, jos se on sekä σ-kompakti että paikallisesti kompakti. [2]

Ominaisuuksia ja esimerkkejä

  • Jokainen kompakti avaruus on σ-kompakti ja jokainen σ-kompakti avaruus on Lindelöf (eli jokaisella avoimella kannella on numeroituva alipeite).[3] Käänteiset implikaatiot eivät päde, esimerkiksi tavallinen euklidinen avaruus (Rn) on σ-kompakti mutta ei kompakti, [4] ja alarajatopologia reaalilukujen joukossa on Lindelöf mutta ei σ -kompakti. [5] Itse asiassa numeroituvan komplementin topologia missä tahansa ylinumeroituvassa joukossa on Lindelöf mutta ei σ-kompakti eikä paikallisesti kompakti. [6] Silti jokainen paikallisesti kompakti Lindelöf-avaruus on σ-kompakti.
  • Hausdorff-avaruus, joka on myös Baire-avaruus ja σ-kompakti, on paikallisesti kompakti vähintään yhdessä pisteessä.
  • Jos G on topologinen ryhmä ja G on paikallisesti kompakti yhdessä pisteessä, niin G on paikallisesti kompakti kaikkialla. Siksi edellinen ominaisuus kertoo, että jos G on σ -kompakti, Hausdorffin topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus, niin G on lokaalisti kompakti. Tämä osoittaa, että Hausdorffin topologisissa ryhmissä, jotka ovat myös Baire-avaruuksia, σ -kompaktisuus tarkoittaa paikallista kompaktisuutta.
  • Edellinen ominaisuus viittaa esimerkiksi siihen, että Rω ei ole σ-kompakti: jos se olisi σ -kompakti, se olisi välttämättä paikallisesti kompakti, koska Rω on topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus.
  • Jokainen puolikompakti avaruus on σ-kompakti. [7] Käänteinen implikaatio ei päde; [7] esimerkiksi rationaalilukujen joukko tavanomaisella topologialla on σ-kompakti mutta ei puolikompakti.
  • Äärellisen määrän σ-kompakteja avaruuksia tulo on σ-kompakti. Kuitenkin äärettömän määrän σ-kompakteja tiloja tulo ei välttämättä ole σ-kompakti. [7]
  • σ-kompakti avaruus X on toista kategoriaa (vastaavasti, Baire), jos ja vain jos niiden pisteiden joukko, joissa X on paikallisesti kompakti, on epätyhjä (vastaavasti, tiheä X:ssä). [8]

Katso myös

Lähteet

  • Steen, Lynn A. ja Seebach, J. Arthur Jr .; Vastaesimerkkejä julkaisussa Topology, Holt, Rinehart ja Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
  • Willard, Stephen: General Topology. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6

Viitteet

  1. ↑ Steen, p. 19; Willard, p. 126.
  2. ↑ Steen, p. 21.
  3. ↑ Steen, p. 19.
  4. ↑ Steen, p. 56.
  5. ↑ Steen, p. 75–76.
  6. ↑ Steen, p. 50.
  7. ↑ a b c Willard, p. 126.
  8. ↑ Willard, p. 188.