Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Viisi ensimmäistä täydellistä lukua ovat 6, 28, 496, 8 128 ja 33 550 336.^[1] Esimerkiksi 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)\,\!}$.

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

• n = 2: ${\displaystyle 2^{1}(2^{2}-1)=6=1+2+3\,\!}$
• n = 3: ${\displaystyle 2^{2}(2^{3}-1)=28=1+2+4+7+14\,\!}$
• n = 5: ${\displaystyle 2^{4}(2^{5}-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248\,\!}$
• n = 7: ${\displaystyle 2^{6}(2^{7}-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064\,\!}$. ^[2]

Eukleides osoitti, että ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)\,\!}$ on täydellinen luku aina, kun ${\displaystyle 2^{n}-1\,\!}$ on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut^[3]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.^[2] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin ${\displaystyle 10^{1500}}$^[4] ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

${\displaystyle \sum _{k\mid n}{\frac {1}{k}}=2}$.

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät ${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$ ja niiden käänteislukujen summa on

${\displaystyle \sum _{k\mid 6}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$.

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

• Moninkertaisesti täydellinen luku
• Puolitäydellinen luku
• Runsas luku
• Vajaa luku
• Lähes täydellinen luku
• GIMPS

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0
• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. Virhe: Virheellinen ISBN-tunniste