Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Funktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa ${\displaystyle {\mathcal {C}}(0,1)}$ todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires^{[1] [2]}

Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa: ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{*}.}$^[3] Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.

Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ Hilbertin avaruus, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}=\lbrace f:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {K} ,f\,{\text{ lineaarinen}}\rbrace }$ sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ tai ${\displaystyle \mathbb {C} }$).

Tällöin jokaista funktionaalia ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{*}}$ vastaa yksikäsitteinen ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}$, jolla pätee ${\displaystyle f(x)=\langle x,y\rangle }$ kaikilla ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$. Vastaavasti kaikilla ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}$, kuvaus ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle }$ on jatkuva funktionaali.^[3]

Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja C_c(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos

• μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;

• Kaikilla Borel-joukoilla E,

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ avoin}}\}}$

• Ehto

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ kompakti}}\}}$

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa C_c(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\quad }$

kaikilla C_c(X)-funktioilla f.

• Bachman, Narici: Functional analysis