Sosan ura käynnistyi 15-vuotiaana, jolloin hän voitti paikallisen radioaseman järjestämän laulukilpailun. Hänen ensimmäinen levytyksensä oli Canciones con Fundamento. Sosa nousi kansainväliseen maineeseen 1960-luvun kuluessa. 1970-luvulla hän julkaisi kaksi konseptialbumia yhteistyössä säveltäjä Ariel Ramírezin ja sanoittaja Félix Lunan kanssa. Hän levytti myös tribuutin Violeta Parralle.
Sosa oli nuoruudessaan Juan Perónin kannattaja. Jorge Videlan noustua Argentiinan johtajaksi sotilasvallankaappauksella 1976 maan ilmapiiri alkoi kiristyä, ja Sosa pidätettiin konsertissa La Platassa vuonna 1979. Hänen esiintymisensä kotimaassa kiellettiin, joten laulaja pakeni ensin Pariisiin ja asettui sitten Madridiin.
