Asatiani aloitti uransa kotimaassaan Georgiassa Kutaisin Torpedossa, missä hän voitti kolmena vuotena peräkkäin maan liigamestaruuden ennen siirtymistään nykyiseen joukkueeseensa kaudeksi 2003. Hän kuuluu myös Georgian maajoukkueen vakiomiehistöön. Ensimmäisen maaottelunsa hän pelasi vuonna 2001.