Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista.
- Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
- Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
- Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.
Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.
Määritelmä
Tarkemmin lukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta
missä on luonnollisten lukujen joukko ja mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.
Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.
Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xn ≤ xn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.
Erikoistapauksia
Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on .
Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä on vakio. Jos on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim. .
Geometrisen lukujonon yleinen termi on .
Esimerkkejä
1. tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa ...
- Toisin sanoen
2. tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa
3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:
- Täten esimerkiksi .
- Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään
- saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...
5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse.[1] Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.
6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...[2] kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen[3] lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
Lukujonon maksimi ja minimi
Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Todistetaan väite induktiolla:
Alkuaskel
Olkoon joukko , joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku . Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi.
Induktio-oletus
Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa on määrä alkiota eli ja että väite pätee, jolloin joukolla on olemassa maksimi eli .
Induktioaskel
Olkoon mielivaltainen joukko, jossa on määrä alkiota. Poistetaan :stä mikä tähansa sen alkio . Nyt saadaan joukko , jossa on määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla . Täten myös joukolla on olemassa maksimi, joka on .
Näin ollen mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle () löydetään aina maksimi.
Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.
Osajono
Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.
Esimerkiksi
Olkoon (a1, a2, a3, a4, a5, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.
Tällöin jono (a2, a4, a5, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.
Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.
Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: ay1, ay2, ay3, ay4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y1, y2, y3, ...). Tällöin pätee aina: yn ≥ n.
Todistus induktiolla:
Alkuaskel: n = 1, jolloin y1 on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y1.
Induktio-oletus: n ≤ yn.
Induktio-askel: n+1 ≤ yn+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee yn+1 ≤ yn+1, mistä seuraa: n+1 ≤ yn+1, MOT.
Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono
Todistus
Olkoon joukko .
- Joukossa on ääretön määrä alkoita.
- , jossa kaikilla . Täten osajono on kasvava.
- Joukko on äärellinen.
- Joukko on tyhjä, jolloin valitaan .
- Joukko on epätyhjä, jolloin valitaan .
- Nyt koska , niin on olemassa siten, että . Induktiolla voidaan osoittaa, että kaikilla on olemassa siten, että . Täten osajono on aidosti laskeva.
Ollaan siis löydetty lukujonolle kasvava osajono tai aidosti laskeva osajono eli joka tapauksessa monotoninen osajono.
Katso myös
Lähteet
Kirjallisuutta