Kožara sai vuonna 1985[1] maisterin arvon kansainvälisessä oikeudessaKiovan kansallisesta yliopistosta. Vuosina 2002–2004 hän toimi suurlähettiläänäRuotsiin. Hän oli työskennellyt myös Ukrainan suurlähetystössä Yhdysvalloissa 1990-luvulla. Kožara aloitti vuonna 2006 toimimisen Verh’ovna Radan jäsenenä. Maaliskuussa 2010 hänestä tuli Ukrainan presidentin ulkopoliittinen neuvonantaja ja joulukuussa 2012 ulkoministeri.[2] Ulkoministerin tehtävien menettämisen jälkeen Kožara vaati Ukrainalta suoria neuvotteluja Donbassin Venäjän tukemien kapinallisten asettamien viranomaisten kanssa.[6] Vuonna 2018 Sosialistit-puolue ehdotti häntä presidenttiehdokkaaksi.[1] Kožara myös johti jonkin aikaa Sosialistit-puoluetta, joka kiellettiin Venäjä-kytkösten perusteella vuonna 2022.[6]
Vuonna 2020 Kožara pidätettiin epäiltynä Inter TV:n johdossa toimineen liikemies Serhi Starytskyin ampumisesta. Starytskyi löydettiin kuoliaaksi ammuttuna Kožaran asunnosta 22. helmikuuta 2020. Kožaran ja hänen vaimonsa mukaan Starytskyi oli tehnyt itsemurhan, mutta rikostutkijat ja syyttäjät katsoivat, että ampumavamma ei voinut olla itse aiheutettu.[7] Luoti oli ammuttu Kožaran omistamalla aseella. Poliisin mukaan alkoholia oli nautittu kuolinillan aikana ja miehet olivat tapelleet keskenään.[4] Kožara vapautettiin takuita vastaan.[8]
