Auerin vanhemmat olivat tilan- ja talonomistaja Kaarlo Kustaa Fridolf Tappura (Vehoniemi) ja Maria Wilhelmina Kukkola. Hän pääsi ylioppilaaksi Hämeenlinnan normaalilyseosta 1887 ja opiskeli sitten Helsingin yliopistossa. Auer valmistui filosofian kandidaatiksi 1892, maisteriksi 1894, suoritti oikeustutkinnon 1895 ja sai varatuomarin arvon 1898.
Kyösti Auer oli naimisissa vuodesta 1894 Maria Kristina Heleniuksen kanssa. Geologi, maantieteilijä, suontutkija ja tutkimusmatkailija Väinö Auer oli heidän poikansa.