Karteesinen tulo
Karteesinen tulo A × B, kun A={a,b,c} ja B= {x,y}
Karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko -operaatio,[ 1] jolla muodostetaan kahdesta tai useammasta joukosta uusi joukko. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon ja filosofin René Descartesin mukaan. Descartes loi käsitteen kehitellessään analyyttista geometriaa .
Karteesisen tulon yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti:
X
1
× × -->
⋯ ⋯ -->
× × -->
X
n
=
{
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
|
x
1
∈ ∈ -->
X
1
{\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\,|\,x_{1}\in X_{1}}
ja
… … -->
{\displaystyle \ldots }
ja
x
n
∈ ∈ -->
X
n
}
{\displaystyle x_{n}\in X_{n}\}}
, missä
X
1
,
… … -->
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}}
ovat joukkoja.
Esimerkkejä karteesisesta tulosta
Kahden joukon karteesinen tulo
Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo on sellaisten järjestettyjen parien (x, y) joukko, joissa x on joukon X alkio ja y joukon Y alkio.
Merkitään:
X
× × -->
Y
=
{
(
x
,
y
)
|
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\,|\,x\in X}
ja
y
∈ ∈ -->
Y
}
{\displaystyle y\in Y\}}
.
Karteesisen tulon osajoukkoja kutsutaan binäärisiksi eli kaksipaikkaisiksi relaatioiksi .
Kolmen joukon karteesinen tulo
Euklidinen kolmiulotteinen avaruus voidaan ilmaista joukkona
R
3
=
R
× × -->
R
× × -->
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
, jonka alkiot eli "pisteet" ovat järjestettyjä kolmikkoja
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
, missä
x
∈ ∈ -->
R
,
y
∈ ∈ -->
R
,
z
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {R} }
.
Muita esimerkkejä
Olkoot
A
=
1
,
2
{\displaystyle A={1,2}}
ja
B
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle B={1,2,3}}
. Tällöin
A
× × -->
B
=
{
(
a
,
b
)
|
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A}
ja
b
∈ ∈ -->
B
}
=
{
(
1
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
1
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
}
{\displaystyle b\in B\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}
.
Olkoot M = {risti, pata, ruutu, hertta} ja N = {ässä, kuningas, rouva, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}. Tällöin M × N = {(risti, ässä) , (risti, kuningas), (risti, rouva),...,(hertta, 2)}. (korttipakka)
Reaalitaso: R 2 = R × R = {(x, y)| x ∈ R , y ∈ R }
Lähteet
↑ Mark Freitag: Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach , s. 95. Cengage Learning, 2013. ISBN 9781285528762 (englanniksi)
Kirjallisuutta
Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I . Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0
Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics . McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6