Arce syntyi maatilalla Loberiassa ja kastettiin Balcarcessa (täydellinen nimi Marcos Jose Arce). Vasta viisitoistavuotiaana hän aloitti opiskelun Buenos Airesin yliopiston lääketieteellisessä tiedekunnassa, josta valmistui lääkäriksi vuonna 1903 luokkansa parhaana. Hänestä tuli kirurgi ja yliopiston anatomian professori vain 25-vuotiaana. Hän oli myös kirurgian professori ja edusti maataan vuonna 1907 Latinalaisen Amerikan lääketieteellisessä kongressissa Montevideossa.
Vuonna 1945 Arcesta tuli suurlähettiläs Shanghaihin ja hän oli Argentiinan pysyvä edustaja YK:ssa vuosina 1946-1949, jonka aikana Argentiina oli turvallisuusneuvoston jäsen vuosina 1948-1949. Arce oli vuonna 1948 erityispuheenjohtaja Pariisissa pidetyssä istunnossa jossa käsiteltiin Palestiinan tilannetta. Postimerkkien kerääjänä Arce ehdotti, että myös Yhdistyneet Kansakunnat julkaisisi omia postimerkkejä, mikä toteutui vuonna 1951, kun Yhdistyneiden kansakuntien postihallinto perustettiin.
Arcella oli yksi tytär, joka kuoli 14-vuotiaana Pariisissa vuonna 1922. Joitakin päiviä myöhemmin hän lahjoitti kirjat tiedekunnan kirjastolle, joka nimettiin hänen tyttärensä María Antonieta Arcen mukaan. Hän lahjoitti Buenos Airesin talonsa presidentti Julio Rocalle omistetuksi museoksi. Hän sai paljon kunnianosoituksia yliopistoilta ja hallituksilta eri puolilla maailmaa.