Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.
Äärellinen muoto
Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille ai on voimassa
Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.
Jos ai=1, on
Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:
Yleinen väittämä
Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.
Mittateoreettinen muotoilu
Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa
Todennäköisyysteoreettinen muotoilu
Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on
Todistus
Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla
Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa
missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.
Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:
Tällöin kaikilla x on voimassa . Tämä nähdään siitä, että jos x>x0 ja t = x − x0 > 0, on voimassa
Siten
kuten vaadittiin. Tapaus x < x0 todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus .
φ(x0) voidaan siten kirjoittaa muodossa
Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa
Erityisesti
Q.E.D.
Lähteet
Aiheesta muualla