Tristram syntyi Eglinghamin pappilassa Northumberlandissa. Hänen isänsä oli pappilan kirkkoherra, myös nimeltään Henry Baker Tristram. Hän opiskeli Lincoln Collegessa Oxfordissa 1839–1846, jolloin hänet vihittiin papiksi. Hän sairastui tuberkuloosiin ja joutui muuttamaan ulkomaille terveydellisistä syistä. 1847–1849 hän oli Bermudan kuvernöörin sihteerinä. Täällä hän kiinnostui linnuista ja simpukoista. 1850 hän meni naimisiin Eleanor Mary Bowlbyn kanssa. Heille syntyi 7 tytärtä ja 1 poika.
Sittemmin hän tutki Saharaa ja vuonna 1858 Palestiinaa, jonne hän palasi 1863 ja 1872, jakaen aikansa uskonnollisten kirjoitusten etsimisen ja luonnonhistoriallisten havaintojen tekemisen välillä. 1881 hän matkusti jälleen Palestiinaan, ja sieltä Libanoniin, Mesopotamiaan ja Armeniaan. 1891 hän matkusti JapaniinOsakaan, missä hänen tyttärensä Katherine Tristram toimi lähetyssaarnaajana. Hän kävi myös Kiinassa ja Amerikan luoteisosassa.
Tristram oli perustamassa arvostettua British Ornithologists' Union (BOU) nimistä yhdistystä, ja hän kuului sen alkuperäisiin jäseniin.[2] 1868 hänet valittiin Royal Societyn jäseneksi. Matkoillaan hän keräsi laajan linnunnahkakokoelman, joka käsitti noin 20 000 nahkaa, ja jonka hän myi Liverpoolin museolle. Munakokoelma päätyi Natural History Museumiin.[1]
