Eliott syntyi vuonna 1718 Roxburghshiressä.[1] Hän opiskeli Leidenin yliopistossa ja ranskalaisessa sotilasakatemiassa. Aktiivipalveluksensa hän aloitti Preussin armeijassa. Vuonna 1739 hänet kutsuttiin brittiarmeijaan, jossa hän osallistui Itävallan perimyssotaan (1742–1748).[2] Eliott haavoittui 1743. Hän osallistui Havannan valtaukseen vuonna 1762.[1] Hän palveli myös Saksassa ja Länsi-Intiassa, ja hänet ylennettiin kenraaliksi vuonna 1778.[2]
