Egan syntyi Illinoisissa ja opiskeli hengellistä alaa niin Yhdysvalloissa kuin Roomassakin. Hän sai pappisvihkimyksensä 15. joulukuuta 1957. Hänestä tuli kardinaali vuonna 2001, ja hän osallistui uuden paavin valintaan vuonna 2005. Vuoden 2013 konklaavin aikaan hän oli liian iäkäs äänestääkseen.