QMJHL-joukkueChicoutimi Saguenéens varasi Gibsonin 16. pelaajana Pohjois-Amerikan juniorisarjojen CHL:n varaustilaisuudessa vuonna 2009.[7] Gibson siirtyi joukkueeseen kaudeksi 2009–2010, jolloin hän pelasi hieman alle puolet joukkueen kauden otteluista. Kaudella 2010–2011 Gibson nousi Saguenéensin ykkösmaalivahdiksi. Hänellä oli QMJHL:n runkosarjan paras torjuntaprosentti (92,0 %) ja toiseksi pienin päästettyjen maalien keskiarvo (2,42), joista huolimatta joukkue selviytyi kauden päättäneisiin pudotuspeleihin vasta divisioonansa viimeisenä joukkueena.[8] Henkilökohtaisesti menestyksekkään runkosarjakauden jälkeen Gibson valittiin liigan ensimmäiseen tähdistökentälliseen ja hän pääsi pelaamaan CHL:n tähdistöottelussa Top Prospects Gamessa.[3] Pudotuspeleissä Gibson ei kyennyt auttamaan joukkuettaan yhteenkään voittoon, kun hän päästi maaliinsa keskimäärin yli viisi maalia ottelua kohden. Neljän Chicoutimissä pelatun kauden aikana joukkue eteni vain kerran playoffseissa ensimmäistä kierrosta pidemmälle. Kauden 2011–2012 päätteeksi Gibson torjui Saguenéensin maalilla 18 pudotuspeliottelua, kun joukkue eteni QMJHL:n välieriin häviten lopulta Saint John Sea Dogsille viidessä pelissä. Gibson tunnustettiin QMJHL-vuosiensa aikana yhteensä viisi kertaa CHL:n viikon maalivahdiksi.[3]
Ammattilaisura
NHL-liigan kykyjenetsintäpalvelu CSS listasi Gibsonin ennen NHL:nvuoden 2011 varaustilaisuutta Pohjois-Amerikassa pelaavien maalivahtien rankingissa toiseksi.[8]Los Angeles Kings varasi hänet toisella varauskierroksella varaustilaisuuden 49. pelaajana. Samana kesänä Gibsonin varasi myös Ak Bars KazanKHL:n varaustilaisuudessa.[9] Varauksestaan huolimatta Kings ei kuitenkaan tehnyt Gibsonin kanssa tulokassopimusta, jonka myötä hän osallistui kesällä 2013 Toronto Maple Leafsin tulokasleirille.[10] Heinäkuussa seura ilmoitti tehneensä hänen kanssaan vapaana agenttina kolmivuotisen tulokassopimuksen.[11][12] Kaudella 2013–2014 Gibson pelasi kahdessa liigassa: AHL:nToronto Marliesissa ja sarjaporrasta alempana ECHL:nOrlando Solar Bearsissa. Kaudella 2014–2015 Gibson kantoi Marliesin pääasiallisen torjuntavastuun.[3][5] Hänet nostettiin kauden aikana kokoonpanoon muutamaan NHL-otteluun, mutta peliaikaa ei Maple Leafsissä kuitenkaan kertynyt.
Juuri ennen kauden 2015–2016 harjoitusleirin alkua Gibson, Taylor Beck, Matthew Finn, Tom Nilsson ja Carter Verhaeghe kaupattiin Torontosta New York Islandersiin vaihdossa Michael Grabneriin.[13][14] Gibson lähetettiin harjoitusleirin päätteeksi Islandersin farmijoukkue Bridgeport Sound Tigersiin.[15] 23-vuotissyntymäpäivänään 27. joulukuuta 2015 hänet nostettiin kuitenkin Islandersin NHL-vahvuuteen paikkaamaan loukkaantunutta Jaroslav Halákia.[16] Gibson teki NHL-debyyttinsä 2. tammikuuta 2016 vieraissa Pittsburgh Penguinsia vastaan, kun hänet vaihdettiin joukkueen maalinsuulle Thomas Greissin tilalle ajassa 30.57. Gibson torjui ottelussa 16 kertaa ja päästi yhden maalin. Ottelu päättyi lopulta Islandersin 5–2-tappioon.[17] Ensimmäisen kerran Gibson pääsi pelaamaan aloittavana maalivahtina 6. huhtikuuta Washington Capitalsia vastaan. Gibson torjui ottelun aikana 29 laukausta, kun Islanders voitti ottelun jatkoajalla lukemin 4–3. Islanders varmisti ottelussa pudotuspelipaikan ja sen päävalmentaja Jack Capuano kommentoi pelin jälkeen Gibsonin olleen joukkueen paras pelaaja.[18] Hän pelasi kauden aikana neljässä NHL-ottelussa.
Elokuussa 2016 Gibson teki Islandersin kanssa vuoden mittaisen, kaksisuuntaisen ja 660 000 dollarin arvoisen jatkosopimuksen.[19][20] Kevättalvella 2018 Gibson sai vastuuta Islandersin maalilla ja torjui 7 ottelussa 91,7 % tehoilla.
Syyskuussa 2023 Gibson teki koesopimuksen NHL-seura Dallas Starsin kanssa.[21][22] Hän jäi lokakuussa kuitenkin ilman jatkosopimusta.[23] Joulukuussa Gibson siirtyi loppukauden 2023–2024 kattavalla sopimuksella SM-liigajoukkueRauman Lukkoon. Seura hankki hänet korvaamaan Samuel Harveyn lähdön jättämää aukkoa.[2][24] Gibson pelasi Lukossa 15 runkosarjaottelua torjuen neljä voittoa torjuntaprosentilla 87,7.[3]