Redman kilpaili Formula 1:issä ensimmäistä kertaa vuonna 1968 Cooper-tallissa, jolloin hän ajoi jo toisessa kilpailussaan Espanjan GP:ssä kolmanneksi.[2][3][5] Hänen kautensa päättyi kuitenkin Belgian GP:ssä, jossa hänen kätensä murtui kolarissa.[2] Vaikka monet tallit, mm. Ferrari tarjosivat Redmanille ajopaikkaa, hän päätti siirtyä ajamaan World Sportscar Championship -sarjaa, jossa hän oli mukana valmistajien mestaruuden voittavissa talleissa.[4][2][6] Hän palasi F1:iin vuonna 1970 ajaen kaudet 1970-1974 monessa eri tallissa kohtalaisilla suorituksilla.[2][3]
Redman voitti Yhdysvaltojen Formula 5000 -mestaruuden vuosina 1974-1976, mutta kärsi useista loukkaantumisista vuoden 1977 kolarin vuoksi.[2] Voittokantaan hän palasi varsinaisesti voittaessaan Daytonan kilpailun vuonna 1981 päättäen vuotensa sarjassa IMSA Camel GT Championship -sarjan mestarina (GT-prototyypit, GTP).[2][4]
Muuta
Redman valittiin vuonna 2002 urheiluautojen Motorsports Hall Of Fame America'an ja International Motorsports Hall of Fame'en vuonna 2011.[7][8] Kilpa-autoilijan uransa jälkeen hän työskenteli moottoriurheilun markkinointiosastolla, oli osallisena Formula 3000 -talli Redman-Bright'ssa sekä oli Road and Track -lehden toimittaja.[2][9]