Birkir aloitti ammattilaisuransa norjalaisessa Vikingissä vuonna 2006. Hän siirtyi lainalle Bodø/Glimtiin vuonna 2008.[6] Bodø/Glimtissä Birkir teki viisi maalia 22 ottelussa. Vikingissä hän pelasi yhteensä 102 ottelua tehden niissä 16 maalia. Hän siirtyi vuonna 2012 belgialaiseen Standard Liègeen. Hän teki belgialaisseuran kanssa viiden vuoden sopimuksen.[7] Lopulta hän pelasi vain yhden kauden Belgiassa pelaten yhteensä kuusitoista ottelua. Birkir siirtyi heinäkuussa 2012 italialaiseen Pescara lainalle, ja Pescara osti kesäkuussa 2013 Birkirin.[8] Syyskuussa 2013 Sampdoria solmi sopimuksen Birkirin kanssa. Sopimus oli yhteissopimus Pescaran kanssa.[9] Kesäkuussa 2014 Pescara osti Birkirin takaisin itselleen.[10] Heinäkuussa 2015 sveitsiläinen FC Basel solmi kolmen vuoden sopimuksen Birkirin kanssa [11]. Tammikuussa 2017 Birkir siirtyi Englannin toiseksi ylimmällä sarjatasolla pelaavan Aston Villan riveihin.
Birkir on pelannut useissa Islannin nuorisomaajoukkueissa. Aikuisten maajoukkueessa Birkir debytoi ystävyysottelussa Andorraa vastaan toukokuussa 2010. Hänet valittiin Islannin joukkueeseen EM-kilpailuihin 2016. Birkir on pelannut maajoukkueessa 84 ottelua ja tehnyt niissä 13 maalia.[2][5][12]
.jpg)
