Melchiorin isä Marcus Melchior pakeni kansallissosialismia Tanskaan vuonna 1933. Siellä hän oli keskeisessä asemassa juutalaisten evakuoinnissa Ruotsiin. Marcus Melchior palasi perheineen Tanskaan vuonna 1945 ja toimi Tanskan päärabbina vuosina 1947–1969. Isänsä kuoltua Bent Melchior peri hänen asemansa maansa päärabbina.[2] Vuonna 1972 Melchior vaati Tanskan hallitusta kutsumaan lähettiläänsä takaisin arabimaista vastineena Münchenin verilöylylle. Hänen aloitteensa ei ollut juutalaisyhteisön keskuudessa yksimielinen, minkä seurauksena hän uhkasi erota, jos enemmistö ei tukisi häntä.[3]
Melchior sai vaimonsa kanssa neljä poikaa, joihin lukeutuu israelilainen poliitikko ja rabbi Michael Melchior sekä Tanskan päärabbi Yair Melchior.[4]
